Умножение матриц

Умножение матриц, на первый взгляд кажется более сложным действием, чем простое умножение чисел. Во-первых, не все матрицы могут быть перемножены между собой, и, во-вторых, для тех, которые можно умножать, результат такой операции - обычно третья матрица, должен включать в себя все элементы двух исходных матриц.

Правила, которым подчиняется умножение матриц, в общем виде могут быть сформулированы для двух матриц А и В, произведением которых является третья матрица – С. Если мы обозначим каждый элемент в матрице C как C_ij, где i и j относятся к строке и столбцу, в котором находится элемент, соответственно, тогда значение C_ij получаем из:

C_ij=ΣAik*Bkj для действия A x B = C.

В этом выраженни суммирование проводится от k =1 до максимального значения k, определяемого размером матрицы.

Для примера рассмотри умножение двух 2х2 квадратных матриц P и Q, и

возникающую в результате новую матрицу R:

R₁₁ = P₁₁ * Q₁₁ + P₁₂ * Q₂₁ = 1 x 3 + 2 x (-2) = -1

R₁₂ = P₁₁ * Q₁₂ + P₁₂ * Q₂₂ = 1 x 1 + 2 x 0 = 1

R₂₁ = P₂₁ * Q₁₁ + P₂₂ * Q₂₁ = 3 x 3 + 1 x (-2) = 7

R₂₂ = P₂₁ * Q₁₂ + P₂₂ * Q₂₂ = 3 x 1 + 1 x 0 = 3

Следует отметить, что эта операция подразумевает особый порядок при проведении умножения, т.е. P x Q. Противоположный порядок – Q x P приведёт к иным элементам матрицы, таким как например

R'₁₁ = Q₁₁ * P₁₁ + Q₁₂ * P₂₁ = 3 x 1 = 1 x 3 = 6

который в данном случае полностью отличается от R₁₁.

Это показывает важные отличия между умножением матриц и умножением чисел. Простое умножение коммутативно, т.е. 2 х 3 = 3 х 2, однако умножение матриц коммутативно только тогда, когда обе матрицы симметричны относительно главной диагонали.