Последовательные операции - использование матриц

Результаты, о которых говорилось выше, были получены полностью графическим путём, но к тем же самым выводам можно прийти с помощью умножения между собой матриц отдельных операций - как было показано ранее.

Например, результат последовательных операций C₂ (y) *C₂ (x) может быть получен

из произведения соответствующих матриц

и матрица, получившаяся в результате, как мы видим, соответствует операции C₂ (z).

Отметим, что обе матрицы для C₂ (y) и C₂ (x) симметричны относительно главной диагонали и поэтому эти две операции будут коммутировать, т.е. C₂ (y) *C₂ (x) = C₂ (x) *C₂ (y).

Последовательное вращение относительно одной и той же оси, например C₂ (y) *C₂ (y), приводит к идентичности Е. В матричной форме это выводится из соотношения:

 

Таблица умножения для операций в точечной группе D₂

В общем виде, эффект от проведения последовательных операций симметрии может быть выражен в форме таблиц умножения. В таблице характеров для точечной группы D₂ (Приложение II) находятся четыре элемента симметрии, каждый из которых допускает только одну операцию:

 

D2

E

C2 (z)

C2 (y)

C2 (x)

 

Таблица умножения для точечной группы D₂ приведена ниже:

D2	E	C2(z)	C2(y)	C2(x)
E	E	C2(z)	C2(y)	C2(x)
C2(z)	C2(z)	E	C2(x)	C2(y)
C2(y)	C2(y)	C2(x)	E	C2(z)
C2(x)	C2(x)	C2(y)	C2(z)	E

В этой таблице операция, которая проводится первой, стоит в верхней строке, а вторая операция приведена в крайнем левом вертикальном столбце. В основной части таблицы показаны одиночные операции симметрии, которые эквивалентны выполнению двух последовательных операций.

Эта таблица подчёркивает важность идентичности Е. а также показывает, что для этой точечной группы все операции коммутативны, т.е. C₂ (x) *C₂ (y).= C₂ (y) *C₂ (x) = C₂ (z).

 

Последовательные операции для точечной группы С_2v

На Рис. 2.6 показаны элементы симметрии точечной группы по отношению к точке

Рис. 2.6

общего положения P (X, Y, Z), и таблица умножения для группы С_2v может как графически, так и с помощью матриц.

Как мы видим из рисунка, отражение в плоскости yz с последующим отражением в плоскости xz приводит к последовательности P ® U ® S, а в одну стадию перемещение P ® S может быть достигнуто с помощью поворота С2 вокруг оси z.

Матрицы для этих операций были получены ранее:

σ (xz)	σ (yz)	C2 (z).

 

и в матричной форме результат последовательных операций таких как σ (xz)*σ (yz) поэтому:

т.е. σ (xz)*σ (yz) = C₂ (z).

Полная таблица умножения для группы С_2v приведена ниже:

 

С2v	E	C2(z)	sv(xz)	s¢v(yz)
E	E	C2(z)	sv(xz)	s¢v(yz)
C2(z)	C2(z)	E	s¢v(yz)	sv(xz)
sv(xz)	sv(xz)	s¢v(yz)	E	C2(z)
s¢v(yz)	s¢v(yz)	sv(xz)	C2(z)	E