Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Случайные величины. Определение:Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно из возможных значений





Определение: Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от множества случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X,Y,Z,…, а их возможные значения буквами x,y,z,…. Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина принимает конечное или счетное множество значений, а всевозможные значения непрерывной случайной величины сплошь заполняют некоторый интервал.

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Законы распределения дискретной случайной величины: ряд распределения; функция распределения; многоугольник распределения. Законы распределения непрерывной случайной величины: функция распределения F(х), плотность распределения f (х).

Некоторые часто встречающиеся формулы:

F(х)= Р (Х <х) (9)

f (x) = F'(х) (10)

(11)

P(α <Х < β)=F(β)-F(α) (12)

Р(α<х<β)= f (x)dx, (13)

Числовые характеристики случайной величины позволяют выразить в сжатой форме существенные особенности распределения случайной величины.

Для дискретной случайной величины (случай конечного множества значений) математическое ожидание определяется по формуле:

М(х)=х1 р12 р2 + ……+х n pn, (14)

дисперсия (рабочая формула)

D(x)=M(x2)- (15)

среднее квадратическое отклонение

σ(Х) = . (16)

Для непрерывной случайной величины: математическое ожидание

М(Х)= хf(x)dx (17)

дисперсия (рабочая формула)

D(X)= x2f(x)dx- (18)

cреднее квадратическое отклонение

σ(Х)= . (19)

Задача 8. Монета брошена три раза. Составить ряд распределения вероятностей случайной величены Х – числа выпадений герба. Построить многоугольник распределения случайной величины Х, найти функцию распределения F(X) и построить ее график. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(Х).

Решение: Вероятность появления герба в каждом испытании (бросании монеты) равна р= , следовательно, вероятность непоявления герба q можно определить по формуле q= 1– р, то есть q= 1 = . При трех бросаниях монеты герб может совсем не появиться, либо появиться один раз, два, либо три раза. Таким образом, возможные значения величины Х: х0= 0; х1= 1; х2= 2; х3 =3.

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли (10) при т= 0,1,2,3.

Р(Х= 0 )=Р3( 0 )=С03 р0q3=()3= ;

Р(Х= 1 )=Р3( 1 )=С13 р1q2 = ()1()2= ;

Р(Х= 2 )=Р3(2)=С23 р2q1 = ()2 = ;

Р(Х= 3 )=Р3( 3 )=С33 р3q0 = ()3= ;

 

Запишем искомый закон биноминального распределения в виде распределения (таблица 1).

 

pi
xi
 
 
 
 
1/8
3/8
Таблица 1

xi        
pi

 

Рис.1. Многоугольник распределения

 

В целях контроля вычислений сложим вероятности всех возможных значений pi= + + + = 1(что и следовало ожидать).

Построим многоугольник распределения (рис.1).

Составим функцию распределения F(X):

1. < х ≤0, F(x)= 0,

2. 0< x ≤1, F(x)= P(X=xi)=P(X= 0 )= ,

3. 1< x ≤2, F(x)= P(X=xi)= Pi= + = ,

4. 2< x ≤3, F(x)= P(X=xi)= Pi= + + = ,

5. 3< x≤;+∞, F(x)= P(X=xi)= Pi= + + + =1.

 

F(x)
Р0
Р1
Р2
Р3
 
 
 
 
х
 
7/8
1/2
1/8
Или:

0при -∞ <x≤;0;

при 0 <x≤;1;

F(x)= при 1 <x≤;2;

при 2 <x≤;3;

1 при 3 <x≤;+∞.

Рис. 2. График функции распределения

 

Составленную функцию распределения изобразим графически (рис. 2).

Найдем математическое ожидание М(Х):

М(Х)= xi pi= 0 +1 +2 +3 = .

Найдем математическое ожидание М(Х2):

М(Х2)= xi2 pi =02 +12 +22 +32 =3.

Найдем дисперсию Д(Х)=М(Х2) – = 3 – ()2= ,

Среднее квадратическое отклонение равно: σ(х)= = = ;0,87.

Задача 9. Случайная величина Х задана функцией распределения.

Найти: а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х окажется в пределах промежутка (0;1); б) плотность распределения вероятностей f(x), построить графики F(x), f(x); в) математическое ожидание М(Х), дисперсию Д(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).

Решение: а) Пользуясь формулой Р(α<X<β)=F(β)-F(α), найдем Р(0<X<1)= F(1)–F(0)= .

б) По формуле f(x) = F'(x) находим:

.

F(x)
x
 
–1
 
 
 
P(0<x<1)
x
f(x)
 
–1
 
 
 
1/3

Рис.3. График функции F(x) Рис.4. График функции f(x)

в) Найдем математическое ожидание по формуле: М(Х)= .

М(Х)= = + + = = = = .

Для вычисления дисперсии Д(Х) воспользуемся формулой Д(Х)= М(Х2)- . Вычислим М(Х2):

М(Х2)= = + + = = =

= =1.

Д(Х)= М(Х2)– =1- .

Среднее квадратическое отклонение σ(Х) вычисляем по формуле:

σ(Х)= , σ(Х)= .







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 1186. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия