Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Элементы математической статистики





Рассмотрим характеристики случайных величин на основе опытных данных.

Определение: Генеральной совокупностью называется множество всех однородных объектов, подлежащих изучению.

Определение: Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.

Определение: Объемом совокупности называется число объектов этой совокупности.

Определение: Последовательность наблюденных значений случайного признака Х генеральной совокупности, расположенных в порядке возрастания, называется вариационным рядом:

х12,……,хn, (22)

а сами значения называются вариантами, то есть хi – варианта, i=1,2,……,n.

Пусть n – объем выборки, Х – изучаемая случайная величина, которая в результате наблюдений значение хi принимает тi раз; тi называется частотой варианты хi, а отношение называется относительной частотой варианты, прием .

Размах выборки R – разность между максимальным и минимальным элементами выборки.

Естественной формой эмпирического закона распределения (этап обработки вариационного ряда) является статистический ряд – таблица частот, выборочный ряд – таблица относительных частот, полигон распределения, гистограмма, эмпирическая функция распределения.

Часто возникает задача нахождения подходящих приближенных значений (оценки) неизвестных параметров распределения количественного признака Х генеральной совокупности по данным выборки. Ниже рассмотрены определения статистических оценок параметров распределения: точечной и интервальной.

Определение: Точечной называют оценку неизвестного параметра распределения, которая определяется одним числом.

Выборочная средняя:

(23)

используется в качестве точечной оценки математического ожидания признака (случайной величины) Х генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия:

(24)

используется в качестве точечной оценки дисперсии признака Х генеральной совокупности.

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

(25)

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

(26)

Выборочной модой М0 распределения называют варианту выборки с наибольшей частотой.

Выборочной медианой mе называют число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число вариант.

Определение: Интервальной называют оценку неизвестного параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Определение: Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки неизвестного параметра – математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

φγ = (27),

где ; – точность оценки, n – объем выборки, t – значение функции Лапласа ф(t) (таблица в приложении учебника), при котором ф(t)= , где γ; – надежность. При неизвестном σ доверительный интервал для оценки математического ожидания а имеет вид:

(28),

где s исправленное среднее квадратическое отклонение, tγ находится по таблице значений функции tγ=t(n,γ) по заданным n и γ; (Таблица в приложении учебника).

Для оценки среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака Х с надежностью γ; по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служат доверительные интервалы:

(S (1 -q); S (1 +q))(при q <1) (29)

(0; S (1 +q))(при q >1) (30),

где q находится по таблице значений функции q=q(n, γ) по заданным n и γ;. (Таблица в приложении учебника).

Задача 11. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

2,0 2,6 2,8 2,4 2,8 2,2 2,0 2,6

2,6 2,6 2,4 2,2 2,4 2,8 2,4 2,6

2,4 2,4 2,4 2,2 2,6 2,0 2,0 2,8

2,2 2,8 2,6 2,2 2,0 2,8 2,0 2,8

2,4 3,2 2,6 3,2 2,6 2,6 3,0 2,2

Признак Х имеет нормальное распределение.

Требуется: 1)Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения. Найти размах выборки. По полученному распределению выборки: 2) Построить полигон относительных частот; 3) Построить график эмпирической функции распределения; 4) Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану; 5) С надежностью γ;=0,95 найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Решение: 1. Вариационный ряд состоит из различных чисел: 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 3,0; 3,2; 3,2.

Статистический ряд – таблица частот имеет вид: Таблица 2

xi 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2
ni              

В первой строке таблицы числа вариационного ряда, а во второй – их частоты.

Выборочный ряд – таблица относительных частот имеет вид:

Таблица 3

xi 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2
wi 0,15 0,15 0,2 0,25 0,175 0,025 0,05

Размах выборки равен разности R= 3,2–2,0=1,2

2. Полигон относительных частот – графическое изображение выборочного ряда распределения. По оси абсцисс откладываются значения вариант xi, а по оси ординат значения соответствующих относительных частот wi, точки (xi, wi) соединяются отрезками прямых, образующих ломаную (рис. 5).

0,25
0,2
0,175
0,15
0,05
0,025
 
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
Wi
x
 
0,95
0,925
0,755
0,5
0,15
 
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
F*(x)
x
0,3

Рис. 5. Полигон относительных частот Рис. 6. График эмпирич. функции

3. Эмпирическая функция распределения F*(x)= , где nx – число вариант, меньших х, n – объем выборки. Объем выборки n= 40. Наименьшая варианта равна 2,0 – следовательно при х≤;2,0 F*(x)= 0,так как значение Х <2,0 не наблюдалось. Следующее значение варианты 2,2 – следовательно при 2,0 <х≤;2,2 F*(x)= 0,15, так как значение Х <2,2 наблюдалось 6 раз. Проводим и далее аналогичные рассуждения. Искомая эмпирическая функция имеет вид:

0 при х≤;2,0

0,15 при2,0 < х ≤2,2

0,3 при 2,2 < х ≤2,4

F* (x) = 0,5 при 2,4 < х ≤2,6

0,75 при 2,6 < х ≤2,8

0,925 при 2,8 < х ≤3,0

0,95 при 3,0 < х ≤3,2

1 при3,2 < х

4. Используя формулы (23), (24), (25) определения моды и медианы находим: выборочную среднюю:

= = 2,485;

выборочную дисперсию:

Dв=

;

исправленное среднее квадратическое отклонение: ;

моду: М0= 2,6; медиану: те (2,4; 2,6).

5.Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (31). Находим t= 2,023 по таблице значений функции tγ=t(γ,n) при γ= 0,95, n =40.

= 2,485, S =0,323, тогда уγ =(2,485-2,023 ;2,485+2,023 );

уγ =(2,382; 2,588).

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид (29). Находим q= 0,24<1по таблице значений функции q= q(γ, n) при γ= 0,95, n =40. S= 0,323, тогда γ;=(0,323(1-0,24); 323(1+0,24)); γ;=(0,245; 0,401).

Задача 12. Для выборки, извлеченной из генеральной совокупности, дан интервальный статистический ряд.

αi-βi 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50
n*i 7 8 15 18 23 19 14 10 6

 

Требуется: 1) построить полигон интервальных относительных частот; 2)

построить кумулятивную кривую; 3) построить гистограмму относительных частот; 4) найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочную моду и выборочную медиану; 5) проверить на уровне значимости α=0,05 гипотезу о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона; 6) в случае согласованности с нормальным распределением найти с надежностью γ;=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака Х генеральной совокупности.

Решение: Объем выборки n= .

Составим таблицу 5, в которой αii-i- й интервал, n количество вариант, попадающих в i – й интервал, х интервальная варианта – середина интервала, х (i= 1,2, …,9), W (i = 1,2, …,9) – интервальная относительная частота, накопленная интервальная относительная частота, ui условная варианта.

Таблица 5

i αii x n ui u ui n u
  5–10 7,5   0,06 0,06 0,012 –4   –28  
  10–15 12,5   0,07 0,13 0,014 –3   –24  
  15–20 17,5   0,12 0,25 0,024 –2   –30  
  20–25 22,5   0,15 0,40 0,030 –1   –18  
  25–30 27,5   0,19 0,59 0,038        
  30–35 32,5   0,16 0,75 0,032        
  35–40 37,5   0,12 0,87 0,024        
  40–45 42,5   0,08 0,95 0,016        
  45–50 47,5   0,05   0,010        
Σ            
Σ∕n     0,008 4,358

 

1. Полигон интервальных относительных частот ломаная линия с вершинами в точках (хi*,wi i= 1,2,…,9(рис. 7).

 
22,5
17,5
12,5
7,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
0,19
0,16
0,15
0,12
0,08
0,07
0,06
0,05
Wi*
x

 

 

Рис. 7. Полигон интервальных относительных частот.

 

2. Кумулятивная кривая – ломаная линия с вершинами в точках i, ), i= 1,2,…,9, где βi – правый конец i- го интервала группировки (рис. 8)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,95
0,87
0,75
0,59
0,40
0,25
0,13
x
0,06
 

 

Рис. 8. Кумулятивная кривая

3. Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями – интервалами (i,βi) и высотами равными (i= 1,2,…,9)(рис. 9).

0,038
0,032
0,030
0,024
0,016
0,010
0,012
0,014
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Wi*/h
x

 

 

Рис. 9. Гистограмма относительных частот

4. Найдем ,Dв, σв. Используем таблицу 5. Применим метод условных вариант для случая интервальной группировки. Условия варианта ui= , , = , =4,358, =h +c= 5·0,008+27,5=27,54, Dвu= - = 4,358-(0,008)2=4,358; Dвх=h2 Dвu= 52·4,358≈108,95, σвx= .

В случае интервальной группировки формула для нахождения выборочной моды имеет вид:

М0= +h .

Формула для нахождения медианы имеет вид:

те= +h .

5. Для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия согласия Пирсона составим расчетную таблицу 6, в которой Zi ; s= - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Рi= ,для f(x)= имеется таблица значений.

Таблица 6

i i zi f(zi) рi npi - npi ( - npi)2 ( - npi) npi
  5-10 7,5   1,8959 0,0656 0,0310 3,720 4,280 18,3184 4,924
  10-15 12,5   1,4228 0,1456 0,0688 8,256 6,744 45,481 5,509
  15-20 17,5   0,9498 0,2541 0,1202 14,424 0,576 0,332 0,023
  20-25 22,5   0,4768 0,3555 0,1682 20,184 -2,184 4,769 0,236
  25-30 27,5   0,0037 0,3989 0,1887 22,644 0,356 0,127 0,006
  30-35 32,5   0,4692 0,3572 0,1689 20,268 -1,268 0,608 0,079
  35-40 37,5   0,9422 0,2565 0,1213 14,556 -0,556 0,309 0,021
  40-45 42,5   1,4153 0,1456 0,0688 8,256 1,744 3,041 0,368
  45-50 47,5   1,8883 0,0669 0,0316 3,792 2,208 4,875 1,286
                  12,452

 

Наблюдаемое значение статистики Пирсона χ2набл.= 12,5.

Определяем критическую точку статистики Пирсона по таблице значений χ 2 при α= 1- γ= 1–95=0,05, к=т -3=9–6, χ 2кр.= χ 2 0,05(6)=12,6.

Сравним χ 2набл. и χ 2кр.: χ 2набл. < χ 2кр..

И в соответствии с разрешающим правилом критерия Пирсона гипотеза, нормальности согласуется с данной выборкой.

6. Доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид: n= 120, = 27,54, S=

По таблице значений функции tγ=t(γ,n) при γ= 0,95и n= 120находим tγ= 1,98,доверительный интервал:

уγ= , уγ =(25,63; 29,45).

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения имеет вид:

(s (1 -q); s (1 +q)) (при q<;1), s= 10,57. По таблице значений функции q=q(γ,n) при γ=0,95и n= 120.

Находим q= 0,13<1.

уγ= (10,57(1-0,13); 10,57(1+0,13)),

уγ =(9,20; 11,94)

Литература

Основная литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2009. – 479 с.

2. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов [Текст]: Учебник для вузов / О.Ю. Ермолаев. – М.: МПСУ, 2011.– 336 с.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам [Текст] / Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2008. -288 с.

Дополнительная литература

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: ОНИКС. Мир и Образование, 2004. – 405 с.

2. Чебыкин Л.С. Высшая математика: Элементы теории вероятностей и математической статистики: Курс лекций [Текст] / Л.С. Чебыкин. – Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1981. – 154 с.


 

 

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

 

 

Подписано в печать _________. Формат 60´84/16. Бумага для множ. аппаратов.

Печать плоская. Усл. печ. л. ___. Уч.-изд. л.____. Тираж ____ экз. Заказ № ____.

ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ризограф ФГАОУ ВПО РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 970. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Билиодигестивные анастомозы Показания для наложения билиодигестивных анастомозов: 1. нарушения проходимости терминального отдела холедоха при доброкачественной патологии (стенозы и стриктуры холедоха) 2. опухоли большого дуоденального сосочка...

Сосудистый шов (ручной Карреля, механический шов). Операции при ранениях крупных сосудов 1912 г., Каррель – впервые предложил методику сосудистого шва. Сосудистый шов применяется для восстановления магистрального кровотока при лечении...

Трамадол (Маброн, Плазадол, Трамал, Трамалин) Групповая принадлежность · Наркотический анальгетик со смешанным механизмом действия, агонист опиоидных рецепторов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия