Решение задачи 7. Исследовать и построить график функции

Исследовать и построить график функции

 

Решение.

1. Область определения функции .

 

2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат: если х=0, то у=0; если у=0, то х=0. Таким образом, график проходит через начало координат

 

3. Функция не является периодической, так как не существует такого положительного числа Т, что у(х+Т)=у(х).

 

4. Функция является нечётной, т.к.

1) область симметрична относительно начала координат,

2)

 

 

5. Определяем асимптоты.

а) Вертикальные асимптоты.

Точки и являются точками разрыва функции. Так как

и то прямая служит вертикальной асимптотой графика функции. Аналогично найдём односторонние пределы в точке :

и , следовательно, прямая также является вертикальной асимптотой графика функции.

б) горизонтальные асимптоты.

Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции на бесконечности:

, и так, прямая у=0 – горизонтальная асимптота.

В) Наклонные асимптоты

у=кх+b – уравнение наклонной асимптоты

наклонной асимптоты нет (она совпадает с горизонтальной у=0).

 

6. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

;

Найдём критические точки из условий или не существует: равно не выполняется не при каких х;

не существует при и .

Итак, критические точки: и .

Составим таблицу

х
	+	Не существует	+	Не существует	+
		Не существует		Не существует
	возрастает		возрастает		возрастает

 

7. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость, найдём точки перегиба:

Определим критические точки для второй производной:

=0, т.е. , откуда х=0;

не существует при .

Составим таблицу:

х
	+	Не существует	–		+	Не существует	–
		Не существует				Не существует
	вогнутая		выпуклая	Точка перегиба	вогнутая		выпуклая

 

8. Найдём значения функции в некоторых точках: ,

, .

 

 

9. Построим график функции