Решить задачу, используя теоремы Муавра – Лапласа.

1 Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

2 Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Проведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,04.

3 Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится:

а) 1400 раз,

б) не менее 1470 и не более 1500 раз?

4 Вероятность изготовления изделия отличного качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся отличного качества.

5 Фабрика выпускает в среднем 70% изделий первого сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

6 При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Определить вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

7 Штамповка металлических клемм для соединительных пластин дает 20% брака. Пользуясь теоремой Лапласа, определить вероятность наличия от 100 до 125 клемм, не соответствующих стандарту, в партии из 600 клемм.

8 Вероятность рождения мальчика 0,515. Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет 480 девочек?

9 Процент отсева среди студентов первокурсников составляет 10%. Найти вероятность того, что из 900 будет отчислено от 80 до 110 студентов (включительно).

10 Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 не более 120 потребуют такую обувь.

11 Объем продаж в течение месяца – это случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами и . Найти вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600.

12 Вероятность того, что деталь не проверялась ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется от 70 до 100 деталей, не проверенных ОТК.

13 По статистическим данным, в 20% случаев коммерческому банку удается привлечь имеющихся у населения сбережения. Найти вероятность того, что среди населения данного округа численностью 1500 человек доля граждан, желающих вложить свои сбережения в коммерческий банк, отклонится от указанной вероятности не более чем на 0,03 (по абсолютной величине).

14 Было посажено 500 кустарников, вероятность прижиться каждому из которых равна 0,8. Оценить вероятность того, что приживутся от 100 до 440 кустарников (включительно).
15 Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 100 деталей 55 окажутся отполированными, если в общей массе деталей имеется поровну отполированных и не отполированных.

5. Дана случайная величина. Требуется:

а) найти закон распределения случайной величины Х (для первых пяти заданий),

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения ,

г) построить график ,

д) найти М(Х), D(X), (X), если:

 

1 Х – число выпадений герба при четырёх подбрасываниях монетки

 

2 Х – количество попаданий в мишень при трёх выстрелах, вероятность каждого попадания 0,7

3 Х – количество попаданий в мишень при трёх выстрелах, вероятность первого попадания 0,8, второго – 0,7, третьего – 0,4

4 Х – число выпадений пяти очков при трёх подбрасываниях игральной кости

 

5 Х – число дождливых дней в неделю, если количество дождливых дней в году 170.

xi	0,5	1,0	1,7	2,0	2,4	2,8
pi	0,1	0,15	0,2	0,22	0,18	0,15

xi	1,5	3,2	5,1	7,4	8,9	10,5
pi	0,05	0,09	0,15	0,21	0,29	0,21

 

xi
pi	0,03	0,06	0,11	0,17	0,23	0,22	0,18

 

xi
pi	0,02	0,08	0,14	0,17	0,19	0,16	0,13	0,11

 

xi	10,1	10,8	11,6	12,5	13,6	14,8
pi	0,12	0,15	0,19	0,23	0,17	0,14

 

xi	10,1	10,3	10,5	10,6	10,8
pi	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

xi	0,5	1,5	2,6	3,8	4,3
pi	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

xi	-4,7	-4,5	-4,2	-3,9	-3,4
pi	0,11	0,13	0,22	0,24	0,3

 

xi
pi	0,15	0,20	0,25	0,20	0,15	0,05

 

xi
pi	0,12	0,13	0,18	0,20	0,15	0,17	0,05

Тема №2 «Проверка статистических гипотез»

Из двух нормально распределенных генеральных совокупностей и получены малые независимые выборки, объемы которых

и ,

где [ ] означают целую часть числа, заключенного в эти скобки, - порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.

Значения вариант и рассчитываются по формулам:

, и , ,

где – номер студенческой группы.

Требуется по данным выборкам при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при альтернативной гипотезе .

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =1.

Решение. Определим объемы выборок:

= = =[2,5]+8=2+8=10

= = =[3]+7=3+7=10.

Далее найдем значения вариант обеих выборок:

x₁=1+5,5=6,5; x₂=7,5; x₃=8,5; x₄=9,5; x₅=10,5; x₆=11,5; x₇=12,5; x₈=13,5; x₉=14,5; x₁₀=15,5;

y₁= =2; y₂=3; y₃=4; y₄=5; y₅=6; y₆=7; y₇=8; y₈=9; y₉=10; y₁₀=11.

Вычислим средние и исправленные дисперсии:

=11;

= ·(2·4,5²+2·3,5²+2·2,5²+2·1,5²+2·0,5²)= · 41,25= · 13,756≈9,167,

=6,5;

= ·(2·4,5²+2·3,5²+2·2,5²+2·1,5²+2·0,5²)=9,167.

Проверим сначала гипотезу о равенстве дисперсий , при конкурирующей .

, , так как , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Можно переходить к сравнению математических ожиданий.

, (0,05,18)=2,10, так как то гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается.

 

 

Тема №3 «Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения»

По выборочным данным, представленным ниже, требуется проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критериям согласия Пирсона и критерию Колмогорова на уровне значимости 0,05.

Здесь - номер студенческой группы, - номер фамилии студента в журнале.

 

11,70	12,90	10,32	9,50	5,91	11,56	10,81	9,32	13,00	12,90
7,35	11,80	17,00+ /10	14,10	9,74	9,76	6,96	15,05	14,67	9,73+N/10
11,35	10,51	15,95	12,41	13,56	6,68	13,75	16,95	8,81	10,60+N/10
13,90	9,03	7,39	13,85	11,99	6,23	12,56	12,03	12,97	15,95
11,00	7,76	10,48	12,80	12,05	12,33	5,60- /10	8,80	9,85	10,11+ /10
9,75	13,70	12,09	13,40	9,02	6,67	12,37	11,67	12,00	13,60
15,21	9,70	13,70	16,10	13,60	14,40	14,75	8,06	13,01	10,70+N/10
13,57	15,30	12,30	15,85	17,60	11,25	12,75	11,50	12,27	11,50
9,21	10,79	11,11	12,31	16,80	16,20	10,36	6,86	12,90	8,64+(N+ )/10
14,90	16,00	12,00	12,31	9,35	16,60	15,67	15,33	8,69+ /10	12,07

 

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =0.

Решение.

11,70	12,90	10,32	9,50	5,91	11,56	10,81	9,32	13,00	12,90
7,35	11,80	17,00	14,10	9,74	9,76	6,96	15,05	14,67	9,73
11,35	10,51	15,95	12,41	13,56	6,68	13,75	16,95	8,81	10,60
13,90	9,03	7,39	13,85	11,99	6,23	12,56	12,03	12,97	15,95
11,00	7,76	10,48	12,80	12,05	12,33	5,60	8,80	9,85	10,11
9,75	13,70	12,09	13,40	9,02	6,67	12,37	11,67	12,00	13,60
15,21	9,70	13,70	16,10	13,60	14,40	14,75	8,06	13,01	10,70
13,57	15,30	12,30	15,85	17,60	11,25	12,75	11,50	12,27	11,50
9,21	10,79	11,11	12,31	16,80	16,20	10,36	6,86	12,90	8,64
14,90	16,00	12,00	12,31	9,35	16,60	15,67	15,33	8,69	12,07

Для удобства расположим варианты в порядке возрастания.

5,60	8,06	9,50	10,48	11,50	12,05	12,56	13,56	14,40	15,95
5,91	8,64	9,70	10,51	11,50	12,07	12,75	13,57	14,67	15,95
6,23	8,69	9,73	10,60	11,56	12,09	12,80	13,60	14,75	16,00
6,67	8,80	9,74	10,70	11,67	12,27	12,90	13,60	14,90	16,10
6,68	8,81	9,75	10,79	11,70	12,30	12,90	13,70	15,05	16,20
6,86	9,02	9,76	10,81	11,80	12,31	12,90	13,70	15,21	16,60
6,96	9,03	9,85	11,00	11,99	12,31	12,97	13,75	15,30	16,80
7,35	9,21	10,11	11,11	12,00	12,33	13,00	13,85	15,33	16,95
7,39	9,32	10,32	11,25	12,00	12,37	13,01	13,90	15,67	17,00
7,76	9,35	10,36	11,35	12,03	12,41	13,40	14,10	15,85	17,60

1) находим размах выборки:

,

2) определяем число классов разбиения по формуле Стерджесса:

,

3) находим величину классового интервала:

,

4) границы и середины частичных интервалов находим по формулам:

,

,

и так далее,

,

и так далее.

5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал:

 

Границы интервалов	Середина интервала	Эмпирическая частота
4,815	6,385	5,600
6,385	7,956	7,171
7,956	9,527	8,741
9,527	11,097	10,312
11,097	12,668	11,883
12,668	14,239	13,453
14,239	15,809	15,024
15,809	17,380	16,595
17,380	18,951	18,165

 

Эмпирический интервальный ряд составлен, найдём среднее значение и СКО:

, .

Теперь найдём теоретические частоты, предполагая нормальное распределение совокупности:

Границы интервалов			Границы интервалов			- -
4,815	6,385	-	-5,497		-1,921	-0,5	-0,4726	0,0274	2,74
6,385	7,956	-5,497	-3,927	-1,921	-1,372	-0,4726	-0,4147	0,0579	5,79
7,956	9,527	-3,927	-2,356	-1,372	-0,823	-0,4147	-0,2939	0,1208	12,08
9,527	11,097	-2,356	-0,785	-0,823	-0,274	-0,2939	-0,1064	0,1875	18,75
11,097	12,668	-0,785	0,785	-0,274	0,274	-0,1064	0,1064	0,2128	21,28
12,668	14,239	0,785	2,356	0,274	0,823	0,1064	0,2939	0,1875	18,75
14,239	15,809	2,356	3,923	0,823	1,372	0,2939	0,4147	0,1208	12,08
15,809	17,380	3,923	5,497	1,372	1,921	0,4147	0,4726	0,0579	5,79
17,380	18,951	5,497	-	1,921		0,4726	0,5	0,0274	2,74

Найдём наблюдаемые значения и .

 

	2,74	0,03	0,0274	0,03	0,0274	0,0026	0,0247
	5,79	0,07	0,0579	0,10	0,0853	0,0147	0,2529
	12,08	0,11	0,1208	0,21	0,2061	0,0039	0,0966
	18,75	0,16	0,1875	0,37	0,3936	0,0236	0,4033
	21,28	0,24	0,2128	0,61	0,6064	0,0036	0,3477
	18,75	0,19	0,1875	0,80	0,7939	0,0061	0,0033
	12,08	0,09	0,1208	0,89	0,9147	0,0247	0,7853
	5,79	0,10	0,0579	0,99	0,9726	0,0174	3,0612
	2,74	0,01	0,0274	1,00	1,00		1,1050
	= =0,0247 =0,247	= =6,080

 

Критические значения находим в соответствующих таблицах:

= , так как 6,08< , то принимается гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, аналогично

, так как < , то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается и критерием Колмогорова.

Доказали, что совокупность распределена нормально, найдём оценки генеральных параметров этой совокупности.

 

-6,283	118,428	-744,083	4675,073
-4,712	155,421	-732,344	3450,805
-3,142	108,59	-341,19	1072,019
-1,571	39,489	-62,037	97,46
1,57	46,833	73,528	115,439
3,141	88,793	278,899	876,022
4,172	222,029	1046,201	4929,699
6,282	39,476	247,988	1557,861
	8,19	-2,33	167,744

 

11,883	8,274	2,876	-0,0979	-0,548	12,064	11,948

 

Найдём доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии .

Рис.:

, где ,

,

Найдём доверительный интервал для дисперсии при неизвестном .

, где , ,

,

,

.

Тема №4 «Корреляционно-регрессионный анализ»

Найти выборочный коэффициент корреляции и составить выборочные уравнения прямых линий регрессии на и на по данным корреляционной таблицы:

Значения , , и найти по формулам:

, ,

, ,

= ,

= ,

где – номер студенческой группы, – порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =1.

По формулам вычисляем недостающие элементы.

 

 

Вычислим выборочные средние, средние квадратов, среднее произведения и и среднеквадратические отклонения:

,

= ,

,

,

,

,

.

Тогда ,

,

.

Выборочное уравнение линейной регрессии на . В нашем случае .

Выборочное уравнение линейной регрессии на . В нашем случае .