Асимптотическая формула Пуассона.

В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний.

При этих условиях для вычисления вероятности появление события k раз в n испытаниях пользуются асимптотической формулой Пуассона:

, где .

Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется 3 изделия бракованных?

Решение. В условии примера дано p =0,005, n =400, k =3, следовательно, . Вероятность данного события найдем по формуле Пуассона .

Локальная теорема Муавра – Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие A произойдет k раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

, где - функция Гаусса, .

 

Интегральная теорема Муавра – Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число k наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от до , при достаточно большом числе приближенно равна:

, где - функция Лапласа

, .

Следствия:

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

1) Число k наступлений события А отличается от произведения np не более, чем на величину равна:

2) Относительная частота события A заключена в пределах от до равна:

,

,

3) Относительная частота события А отличается от его вероятности р не более, чем на величину Δ>0 равна:

.

Контрольные вопросы:

1.Схема независимых повторных испытаний Бернулли.

2. Формула Бернулли.

3. Закон редких событий (формула Пуассона).

4. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

6. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Контрольные задания:

1. Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов 3 цветных? Не более трех цветных?

2. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:

а) два мальчика,

б) не более двух мальчиков,

в) более двух мальчиков,

г) не менее двух и не более трёх мальчиков.

3. Проблема Джона Смита. В 1693г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму – не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а третьему – не менее трех шестерок при 18 бросаниях. Задача была решена Ньютоном и Толлетом, показавшими, что первый человек имеет больше шансов на выигрыш, чем второй, а второй больше, чем третий. Получить этот результат.

4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

5. Вероятность появления события в каждом из 100 испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится:

а) не менее 75 и не более 90 раз,

б) не менее 75 раз,

в) не более 74 раз.

6. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,02?

7. Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0,02. Сверла укладывают в коробку по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке окажется не более трех бракованных сверл.

8. Производится 1000 однородных опытов. Предполагается, что в каждом независимом испытании вероятность отрицательного результата – 0,003. Найти вероятность того, что отрицательных результатов будет:

а) ровно два,

б) менее двух,

в) более двух,

г) хотя бы один.

Задания для домашней работы:

1. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:

а) три партии из четырёх или пять из восьми?

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми?

2. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится:

а) 1400 раз,

б) не менее 1470 и не более 1500 раз?

3. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Проведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,04.

4. Среди деталей, изготавливаемых участком, 0,1% бракованных. Детали укладываются в ящики по 200 штук. Чему равна вероятность того, что в ящике будет не более трех бракованных деталей?

 

Тема №7 «Дискретные случайные величины»

Цель: познакомиться с понятием дискретной случайной величины, научиться составлять закон и функцию распределения дискретной случайной величины, находить её основные характеристики.

Краткие теоретические сведения:

Случайная величина –это переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Непрерывная случайная величина – это величина, бесконечное, несчетное множество значений которой есть некоторый интервал числовой оси.

Случайные величины обозначаются большими латинскими буквами X, Y, Z, а их значения маленькими - x, y, z.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения задаётся в виде таблицы.

			…
			…

- условие нормировки.

Используя таблицу можно закон распределения дискретной случайной величины изобразить графически в виде многоугольника (полигона) распределения.

Другая форма закона распределения – функция распределения , которая представляет собой вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее наперёд заданного х, то есть .

Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая линия, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

 

Свойства функции распределения:

1) 0≤ F(x) ≤1,

2) функция распределения есть неубывающая функция,

3) F ()- F ().

4) , .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности .

Свойства математического ожидания:

1) ,

2) ,

3) ,

4) (для независимых случайных величин)

5) ,

6) .

Вероятностный смысл:математическое ожиданиеприближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайный величины.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания или .

СКО (средним квадратическим отклонением) случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии .

Свойства дисперсии:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5)

Вероятностный смысл: дисперсия – степень рассеяния значений случайной величины около её математического ожидания.

Модой случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой случайной величины Х называется ее значение, находящееся в центре ряда распределения.

Начальным моментом k -го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k -й степени этой величины: .

Центральным моментом k -го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k -й степени отклонения этой величины от ее математического ожидания: .

- коэффициент асимметрии.

- эксцесс.

Пример. В семье трое детей. Случайная величина Х - число мальчиков в семье. Требуется:

а) найти закон распределения случайной величины Х,

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения ,

г) построить график ,

д) найти вероятность события Р (1< Х ≤3)

е) найти М(Х), D(X), (X).

Решение: В семье может быть один, два, три или не быть мальчиков, то есть случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3.

Пусть А _i- событие, состоящее в том, что i -тый ребёнок мальчик, i =1,2,3.

Р(Х =0 )=Р(Ā₁Ā₂Ā₃)= ,

Р(Х =1 )=Р(А₁Ā₂Ā₃+Ā₁А₂Ā₃+Ā₁Ā₂А₃) = ,

Р(Х =2 )=Р(Ā₁А₂А₃+А₁Ā₂А₃+А₁А₂Ā₃) = ,

Р(Х =3 )=Р(А₁А₂А₃) = .

а) закон распределения случайной величины Х имеет вид:

 

б)

в)

г)

д) Р (1< Х ≤3)= Р (Х=2)+ Р (Х =3)= + = .

е) М(Х) = ,

М(Х²) = ,

D(X) =3-1,5²=0,75,

= .

Контрольные вопросы:

1. Дискретная случайная величина.

2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения вероятностей.

3. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Её свойства и вероятностный смысл.

4. Дисперсия дискретной случайной величины. Её свойства и вероятностный смысл. Среднее квадратическое отклонение.

5. Функция распределения дискретной случайной величины. Свойства функции распределения.

6. Числовые характеристики среднего арифметического независимых и одинаково распределённых случайных величин.

7. Мода и медиана дискретных случайных величин.

Контрольные задания:

1. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов.

а) составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе,

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения F(х),

г) построить график F(х),

д) найти вероятность события Р(9< Х ≤11)

е) найти М(Х), D(X), (X), , .

2. Игральная кость брошена 4 раза.

а) составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число появления пятёрки.

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения F(х),

г) построить график F(х),

д) найти вероятность события Р(Х ≤2),

е) найти М(Х), D(X), (X), , .

Задания для домашней работы:

Произведены три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно: 0,4, 0,5 и 0,7.

а) составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число попаданий по мишени,

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения F(х),

г) построить график F(х),

д) найти вероятность события Р(1< Х ≤3)

е) найти М(Х), D(X), (X), , .

Тема №8 «Непрерывные случайные величины»

Цель: познакомиться с понятием непрерывной случайной величины, научиться находить плотность и функцию распределения непрерывной случайной величины, её основные характеристики.

Краткие теоретические сведения:

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Плотностью вероятности непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения .

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

1) ,

2) ,

3) ,

4) - условие нормировки,

5) F(x)= .

M(Х)= - математическое ожидание непрерывной случайной величины,

D(Х)= - дисперсия непрерывной случайной величины.

Модой Мо непрерывной случайной величины называется значение, для которого плотность вероятности достигает максимума.

Медианой Ме непрерывной случайной величины называется значение, для которого .

 

Пример. Случайная величина имеет плотность распределения вероятности

Требуется:

а) найти постоянную ,

б) найти функцию распределения F(x),

в) построить графики f(x) и F(x),

г) найти Р (),

д) найти параметры распределения.

Решение: а) используем свойство плотности распределения :

а=1, следовательно =2.

б) при х ≤0 F(х)= ,

при 0< х ≤1 F(x)= ,

при х >1 F(x)= , то есть

в)

г) Р ()= ,

д) М(Х)= = ,

М(Х²)= ,

D(X)= М(Х²)- М²(Х)= ,

.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения

F(x)= .

Решение. Найдем плотность распределения:

f (x)=F^’(x)= .

M(Х) = ,

Найдем искомую дисперсию D(x) = = .

Контрольные вопросы:

1. Непрерывная случайная величина.

2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины.

3. Свойства плотности распределения вероятностей.

4. Условие нормировки.

5. Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины.

6. Основные характеристики непрерывной случайной величины.

Контрольные задания:

1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

.

Требуется:

а) найти постоянную ,

б) найти плотность распределения f(x),

в) построить графики f(x) и F(x),

г) найти Р (1,5< Х <2),

д) найти параметры распределения.

2. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности

.

а) найти функцию распределения F(x),

б) построить графики f(x) и F(x),

в) найти Р (),

г) найти параметры распределения.

Задания для домашней работы:

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

.

Требуется:

а) найти плотность распределения f(x),

б) построить графики f(x) и F(x),

г) найти Р (0,25< Х <0,5),

д) найти параметры распределения.

 

Тема №9 «Основные законы распределения случайных величин»

Цель:познакомиться с основными законами распределения дискретных и непрерывных случайных величин, научиться применять их при решении задач теории вероятностей прикладного характера.

Краткие теоретические сведения:

Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где и 0< p <1, если , k =0,1,…, n.

, .

Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями, которые определяются по формуле , k =0,1,…

, .

Случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром р (0< p <1), если она может принимать только натуральные значения с вероятностями , .

, .

Случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами m и n, , если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями .

, .

Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если её распределение задаётся плотностью .

Функция равномерного распределения .

, .

Случайная величина имеет показательное распределение с параметром , если её распределение задаётся плотностью .

Функция показательного распределения .

, .

Cлучайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или Гауссовой кривой.

Математическое ожидание случайной величины , распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, то есть , а ее дисперсия – параметру , то есть .

Функция распределения нормальной случайной величины , выражается через функцию Лапласа по формуле:

.

Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:

1) Вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону, в интервал (х₁;х₂), равна

,

где ,

2) Вероятность того, что отклонение случайной величины , распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину , равна

, где .

Правило «трех сигм»:

Если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и , то есть , то достоверно, что ее значения заключены в интервале .

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами , , то есть называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10;50).

Решение. х₁ =10, х₂ =50, σ =10, =30.

P (10< Х <50)= =2Ф(2).

Из таблицы находим Ф(2)=0,4772 и окончательно имеем

P (10< Х <50)=2·0,4772=0,9544.

Контрольные вопросы:

1. Биномиальное распределение, его характеристики.

2. Распределение Пуассона, его характеристики.

3. Геометрическое распределение, его характеристики.

4. Гипергеометрическое распределение, его характеристики.

5. Равномерное распределение, его характеристики.

6. Показательное распределение, его характеристики.

7. Нормальный закон распределения случайной величины.

8. Изменение гауссовой кривой при изменении параметров σ и .

9. Функция распределения и плотность вероятности нормальной случайной величины.

10. Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданной интервал.

11. Вероятность отклонения нормально распределённой случайной величины от её математического ожидания.

12. Правило «трёх сигм».

Контрольные задания:

1. На большой перемене между занятиями в двух случаях из 10 вы покупаете булочку и кофе. Найти вероятность того, что в течение 5 дней в большую перемену вы будете питаться именно так.

2. В «Службу доверия» города Энска поступает в среднем 3 обращения в час. Какова вероятность того, что за 2 часа будет:

а) 5 обращений,

б) от 4 до 7 обращений,

в) не более 3 обращений.

3. Пусть в опытах по психодиагностике вероятность того, что тестируемый субъект зафиксирует световую вспышку в указанном секторе, равна 0,8. Какова вероятность того, что вспышка будет впервые обнаружена в третьем опыте?

4. Каждый день с 15.00 до 15.30 вы стоите у книжного киоска и ожидаете свою незнакомку, которая каждый раз проходит мимо не ранее 15.20, не замечая вас. Каково среднее время её появления в период вашего ожидания?

5. Психоаналитик на работе никогда не скучал, так как посетители шли к нему «валом». Если вы тоже захотите навестить знаменитого специалиста, рассчитайте вероятность обслуживания вас в ближайшие полчаса с учётом того, что поток обслуженных клиентов имеет плотность 4 человека в час. Каково среднее время обслуживания?

6. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины равны соответственно 12 и 3. Записать функцию и плотность распределения данной случайной величины.

7. Математическое ожидание порога чувствительности в серии психофизических опытов равно 40, а дисперсия – 100. Вычислить вероятность того, что в данном испытании порог будет заключен в интервале (30; 80), считая распределение порога нормальным.

8. Пусть случайная величина Х – центрированная. σ(Х)=5. Вычислить вероятность того, что величина Х не превосходит по абсолютной величине значения 5.

9. Математическое ожидание и СКО уровня настойчивости Х, распределённого по нормальному закону, соответственно равны 40 и 0,4. Какое значение данного показателя можно гарантировать с вероятностью 0,8?

Задания для домашней работы:

1. В группе 30 студентов, среди них 10 отличников. В деканат вызваны наугад 8 студентов. Какова вероятность, что среди вызванных ровно 3 отличника?

2. Производится взвешивание на аналитических весах, причём имеются гирьки весом не менее 1 г. Найти математическое ожидание ошибки и её дисперсию.

3. Уровень тревожности в нормальной обстановке распределён по показательному закону: . Найти вероятность того, что в результате испытаний уровень тревожности попадёт в интервал (0,2; 0,5).

4. Известно, что для человека pH крови является случайной величиной, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что уровень pH находится между 7,35 и 7,45.

Тема №11 «Построение статистических рядов, нахождение их характеристик»

 

Цель:научиться составлять статистические распределения выборок, строить полигоны, гистограммы, строить эмпирические функции распределения.

 

Краткие теоретические сведения:

Математическая статистика – это раздел прикладной математики, посвящённый методам сбора, группировки и анализа статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.

Генеральной совокупностью называют множество объектов, однородных относительно некоторого признака.

Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Число объектов совокупности называется её объёмом.

Выборка называется репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, и если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Численное значение количественного признака называется вариантой.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот .

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариант с соответствующими им частотами.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и – интервальным, если варианты могут отличаться одна от другой на сколь угодно малую величину.

Дискретный статистический ряд задается таблицей, в которой указываются варианты, частоты или относительные частоты их встречаемости. Графическое изображение дискретного статистического ряда называется полигоном частот (относительных частот). Это ломаная, в которой концы отрезков имеют координаты или , .

Пример. Закон распределения дискретного статистического рядя и полигон частот.

Интервальный статистический ряд для случайных непрерывных величин и для случайных дискретных величин при больших объемах выборок. Интервальный ряд представляет собой таблицу, в которой указаны частичные интервалы, плотности частот или плотности относительных частот. Графическое изображение интервального статистического ряда называется гистограммой. Представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака, и высотами, равными частотам интервалов.

Пример. Закон распределения интервального статистического ряда и гистограмма.

---

	(55;60)	(60;65)	(65;70)	(70;75)	(75;80)	(80;85)	(85;90)

Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 4124. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

---

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Субъективные признаки контрабанды огнестрельного оружия или его основных частей   Переходя к рассмотрению субъективной стороны контрабанды, остановимся на теоретическом понятии субъективной стороны состава преступления... ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все... МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы... Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм.разновидности агностицизма Позицию Агностицизм защищает и критический реализм. Один из главных представителей этого направления... Функциональные обязанности медсестры отделения реанимации · Медсестра отделения реанимации обязана осуществлять лечебно-профилактический и гигиенический уход за пациентами...