Упражнения к § 1

 

1. Доказать, что множество всех функций со значениями в данном поле K, определенные на множестве из n элементов, составляют n-мерное векторное пространство над полем K по отношению к действиям сложения функций и умножения на константу поля K.

 

2. В множестве положительных действительных чисел определены операции:

1) «сложения» ;

2) «умножения на действительное число» .

Проверить, что множество с указанными операциями образует линейное пространство.

 

3. Будет ли множество всех многочленов , удовлетворяющих следующим условиям, линейным пространством относительно обычных операций сложения и умножения на число:

1) f(0)=1; f(1)=0;

2) 2f(0)-3f(1)=0.

 

4. Пусть – множество всех упорядоченных пар действительных чисел с операциями:

1. ;

2. .

Будет ли действительным линейным пространством?

 

5. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

 

6. Выяснить, являются ли следующие системы векторов арифметических пространств линейно зависимыми:

2. (-3, 1, 5); = (6, -2, 15);

3. (1, 2, 3); =(2, 5, 7); =(3, 7, 11);

4. =(2, -3, 1); =(3, -1, 5); =(1, -4, 3).

 

7. Найти все значения параметра , при которых вектор b линейно выражается через векторы , :

1. =(3, 4, 2); =(6, 7, 8); b =(9, 12, l);

2. =(3, 2, 5); =(2, 4, 7); =(5, 7, l); b =(1, 3, 5).

 

8. Являются ли многочлены линейно независимыми: , , ?

 

9. Векторы и x заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе:

1) =(2, 1, -3), =(3, 2, -5), =(1, -1, 1), x =(6, 2, -7);

2) = (1, 2, -1, -2); =(2, 3, 0, -1); =(1, 2, 1, 4);

=(1, 3, -1, 0); x= (7, 14, -1, 2);

3) =(2, 2, -1), =(2, -1, 2), =(-1, 2, 2), x =(1, 1, 1);

4) =(1, 5, 3), =(2, 7, 3), =(3, 9, 4), x =(2, 1, 1).

 

10. Систему векторов =(1, 2, -1); =(2, 1, 0) дополните до базиса в пространстве .

 

11. Показать, что следующие системы векторов являются базисами пространства :

1) = (1, 2, 3, …, n); = (0, 2, 3, …, n); = (0, 0, 3, …, n); …;

=(0, 0, 0, …, n);

2) = (1, 1, …, 1, 1, 1); =(1, 1, …, 1, 1, 0);

=(1, 1, …, 1, 0, 0); =(1, 0, …, 0, 0, 0).

 

12. Проверить, какая из следующих систем векторов является базисом пространства :

1) =(1, 2, -1, -2), =(2, 3, 0, -1), =(1, 2, 1, 3),

=(1, 3, -1, 0);

2) =(1, 2, -1, -2), =(2, 3, 0, -1), =(1, 2, 1, 4),

=(1, 3, -1, 0).

 

13. Найти координаты многочлена в каждом из следующих базисов пространства :

1) 1, t+ 1, , , , ;

2) , , , , , .

 

 

§ 2. Линейные подпространства. Прямая сумма подпространств. Произведение пространств

 

Определение 1. Подмножество M из линейного пространства X над полем K называется линейным подпространством, если:

1) ;

1)

для любых , .

Каждое подпространство является самостоятельным линейным пространством.

Задача 1. Доказать, что линейная оболочка, натянутая на систему векторов из пространства X: , является линейным подпространством пространства X.

Решение.

Проверим свойства линейного подпространства. Рассмотрим элементы и .

Так как , то , , где .

Тогда , где . Таким образом, .

Аналогично .

Таким образом, доказано, что данное множество является линейным подпространством.

 

Задача 2. Докажите, что n-мерные векторы пространства , у которых координаты с четными номерами равны 0, образуют линейное подпространство M. Найти его размерность и базис.

Решение.

Пусть .

Докажем, что M – подпространство:

Рассмотрим векторы , . Тогда , где .

2. Рассмотрим .

Тогда .

Таким образом, что M – подпространство.

Найдем базис и размерность в подпространстве M.

Рассмотрим векторы подпространства M: , , , где вектор имеет 1 на (2k-1) - ом месте, а остальные координаты равны 0.