Базис. Размерность линейного пространстваОпределение 5. Всякую систему векторов линейного пространства X называют базисом, или базой, этого пространства, если: 1. система векторов линейно независима; 2. любой вектор x пространства X линейно выражается через векторы этой системы: . (4) Числа называются координатами вектора x относительно базиса . Число n базисных векторов в пространстве X называется размерностью пространства и обозначается символом dim X. Задача 8. Доказать, что векторы вида: , , , образуют базис в пространстве . Решение. Докажем линейную независимость векторов . Рассмотрим линейную комбинацию:
, т.е. линейно независимы. Покажем, что для любого вектора справедливо представление (4). Пусть . Тогда , т.е. коэффициенты равенства (4) в данном примере совпадают с . Таким образом, исходная система векторов является базисом в пространстве и dim =n.
Аналогично можно доказать следующие утверждения: 1. Многочлены , , , образуют базис в линейном пространстве , где K =R или K =C; . 2. В линейном пространстве матриц размерности базисом являются матрицы , , , где – матрица, на пересечении i-ой строки которой и j-го столбца стоит единица, а остальные элементы – нули.
|