Если – базис в линейном пространстве X, то любые n линейно независимых векторов также образуют базис в X.

Таким образом, если известно, что размерность пространства равна n, то для доказательства того факта, что система векторов является базисом, необходимо и достаточно доказать, что векторы системы линейно независимы.

Задача 9. В пространстве заданы векторы , , , . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

Решение.

1) Докажем, что – базис в пространстве . Так как dim =3, то нам достаточно проверить линейную независимость векторов. Составим линейную комбинацию :

Определитель матрицы полученной системы . Следовательно, система имеет только нулевое решение и векторы линейно независимы.

2. Для нахождения координат вектора x в базисе составим равенство: . Переходя к покоординатным равенствам и решая полученную систему, находим, что , , . Таким образом, в базисе вектор .

 

Задача 10. Пусть X – линейное пространство размерности n и – векторы из X такие, что каждый вектор из X является их линейной комбинацией. Докажите, что эти векторы образуют базис в X.

Решение.

Так как свойство 2) определения базиса выполнено по условию задачи, остается доказать линейную независимость векторов , где n =dim X.

Предположим противное. Пусть – линейно зависимая система векторов. Выберем в M максимальную независимую подсистему векторов , k<n. Напомним, что конечная подсистема данной системы векторов называется максимальной линейно независимой, если сама подсистема векторов линейно независимая, а добавление к ней хотя бы одного вектора системы делают ее линейно зависимой. Каждый вектор системы линейно выражается через векторы ее максимальной независимой подсистемы, то есть, для любого , . Тогда для любого вектора x из линейного пространства X справедливо:

.

Таким образом, векторы линейно независимы и любой элемент линейного пространства X представим в виде их линейной комбинации, т.е. , что противоречит тому, что dim X=n.

Задача 11. Докажите, что для любого комплексного числа a многочлены , , , …, образуют базис в линейном пространстве . Найти координаты произвольного многочлена в этом базисе.

Решение.

Линейная независимость многочленов разной степени следует из решения задачи 6. Докажем, что произвольный многочлен пространства является линейной комбинацией данных векторов.

Рассмотрим произвольный многочлен . Так как любой многочлен для любого может быть единственным образом представлен в виде:

, то для любого справедливо разложение по данной системе многочленов:

.

Числа являются координатами многочлена f в базисе .

 

Пусть X – произвольное линейное пространство. Для нахождения базиса в пространстве X можно воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 1 (нахождение базиса в линейном пространстве).

5) Выбираем произвольный вектор в пространстве X.

6) Если для любого вектора существует такое, что справедливо представление:

, (*)

то останов. Размерность пространства X: dim X =1, – базис в X.

Иначе – находим произвольный вектор , для которого не существует такое, что выполняется равенство (*), то есть:

,.

Полагаем . Отметим, что векторы – линейно независимы в силу нарушения (*).

7) Если для любого вектора существуют такие, что:

, (**)

то останов, dim X =2; – базис в X.

Иначе – находим вектор , для которого не выполнено равенство (**): , .

Полагаем ; – линейно независимые векторы.

 

Продолжая данный процесс для конечномерного линейного пространства, через конечное число шагов алгоритма будет найден базис в пространстве X.

Задача 12. Систему многочленов , , , дополните до базиса пространства .

Решение.

Так как размерность пространства многочленов степени не выше 5: равна 6, то необходимо найти многочлены , являющиеся линейно независимыми как между собой, так и с многочленами .

Найдем произвольный многочлен , являющийся линейно независимым с системой . Очевидно, что в качестве такого многочлена можно выбрать .

Для нахождения последнего многочлена базиса воспользуемся алгоритмом 1, т.е. найдем многочлен , являющийся линейно независимым с системой , т.е. для которого не существуют числа такие, что выполняется равенство:

Неизвестными системы являются ; - параметры системы. Система не имеет решения, например, для следующих значений параметров: . Тогда в качестве базисного многочлена выберем .

Система многочленов линейно независима и образует базис в пространстве .