Упражнения к § 2

Доказать, что все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образуют линейное подпространство. Найти его базис и размерность.

 

Доказать, что все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой, образуют линейное подпространство. Найти его базис и размерность.

 

Доказать, что все симметрические матрицы образуют линейное подпространство пространства всех квадратных матриц порядка n. Найти его размерность и базис.

 

Доказать, что линейное пространство есть прямая сумма двух линейных подпространств: , .

 

Доказать, что пространство всех квадратных матриц есть прямая сумма пространств симметрических матриц и кососимметрических матриц.

 

Доказать, что решения любой системы однородных линейных уравнений с n неизвестными ранга r образуют линейное подпространство n- мерного пространства размерности n-r.

 

§ 3. Определители и линейная независимость векторов

 

Пусть X – конечномерное линейное пространство и – система векторов из X.

Определение 1. Векторы , называются базисными для системы векторов , если они линейно независимы и каждый из векторов является их линейной комбинацией.

Число базисных векторов называется рангом системы векторов . Базисные векторы образуют базис в линейной оболочке векторов , т.е. в подпространстве .

Для того чтобы векторы () образовывали базис в , необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля.

Столбцы матрицы A, на которых расположен базисный минор матрицы A, являются базисными векторами для системы векторов .

Задача 1. Найти базисные векторы в системе векторов , , , .

Решение.

Составим матрицу из координат векторов .

Найдем какой-либо базисный минор матрицы A.

Рассмотрим ; .

Следовательно, rang(A)=3. Так как базисный минор расположен на векторах , то данные векторы являются базисными векторами системы .

 

Упражнения к § 3

 

1. Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

2) =(1, 0, 0, -1), =(2, 1, 1, 0), =(1, 1, 1, 1), =(1, 2, 3, 4),

=(0, 1, 2, 3);

3) =(1, 2, 3), =(4, 5, 6), =(7, 8, 9), = (10, 11, 12).

 

§ 4. Линейные нормированные пространства

Определение 1. Линейное пространство над полем K (K =R или K =C) называется нормированным, если задана функция , обозначаемая и удовлетворяющая следующим условиям:

1) , ;

2) ;

3) ;

для любых векторов и любого числа .

Величина называется нормой вектора x.

Задача 1. Доказать, что линейное пространство , где K= Rили K= C является нормированным, если в качестве нормы выбрана одна из следующих функций:

1. (октаэдрическая норма);

2. (кубическая норма)

3. (евклидова норма),

где .

Решение.

Докажем, что для выполняются аксиомы нормы.

Так как для любого , то .Условие равносильно , а так как , то равенство нулю суммы возможно лишь тогда и только тогда, когда , , т.е. .

.

, а так как по свойству модуля , то .

Таким образом, является нормой в .

II. Докажем, что является нормой в .

Так как , то . Условие равносильно , а так как, с другой стороны, , то получаем: .

.

. Так как , то . Так как , то . Аналогично, , . Следовательно, .

Таким образом, является нормой в .

Аналогично проверяется (доказательство проведите самостоятельно), что является также нормой в пространстве .

 

Задача 2. Докажите неравенство .

Решение.

1) , следовательно, ;

2) , следовательно, , а так как , то последнее неравенство преобразуется к виду: .

Из пунктов 1) и 2) следует, что .

 

§ 5. Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства

 

Определение 1. В n-мерном линейном пространстве H над полем K определена операция скалярного умножения векторов, если задана функция , называемая скалярным произведением, ставящая в соответствие каждой паре векторов число , причем для любых и выполнены следующие аксиомы:

I. и ;

II. ;

III. ;

IV. .

При K=R условие 4) выглядит следующим образом: .

Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Каждое пространство H со скалярным произведением можно сделать нормированным, если положить .

Задача 1. Доказать, что отображение задает скалярное произведение в .

Решение.

Проверим выполнение аксиом скалярного произведения.

1. ; ;

2. ;

3. ;

4. .

Таким образом, задает скалярное произведение в .

 

Задача 2. Проверить, задает ли отображение скалярное произведение в , если .

Решение.

Проверим свойства скалярного произведения.

Рассмотрим . Проверим выполнение неравенства .

Рассмотрим : Так как , то функция не является скалярным произведением.

Задача 3. Пусть – различные комплексные числа. Докажите, что в линейном пространстве , где формула

, (*)

задает скалярное произведение. Верно ли это утверждение для ?

Решение.

Рассмотрим числа , и многочлены . Проверим аксиомы скалярного произведения для заданного :

.

Пусть . Тогда , т.е. . Так как , а любой многочлен степени n однозначно определяется своими значениями в n+1 точке, то ;

;

.

Таким образом, при формула (*) задает скалярное произведение.

Пусть . Рассмотрим многочлен степени n, имеющий по основной теореме высшей алгебры n корней. Условие равносильно тому, что ,где . Рассмотрим многочлен . Для данного многочлена выполнены условия: , однако . Следовательно, при формула (*) скалярное произведение не задает.

 

Определение 2. Углом между векторами и евклидова пространства H называется угол , определяемый соотношением:

, .

Задача 4. Определить угол между векторами и .

Решение.

В пространстве рассмотрим евклидову норму.

Тогда ,

, . Тогда , тогда .

Задача 5. Вычислить угол между функциями , из пространства , если скалярное произведение задается следующей формулой: .

Решение.

,

,

 

,

.

Определение 3. Два вектора называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно 0.

Определение 4. Система векторов называется ортогональной, если в ней все векторы попарно ортогональны.

Определение 5. Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и в ней все векторы нормированы, т.е. выполняются условия:

;

.

Определение 6. Базис евклидова пространства H называется ортонормированным, если векторы образуют ортонормированное множество.

Переход от линейно независимых векторов к ортонормированному множеству осуществляется с помощью процесса ортогонализации Грама-Шмидта.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Пусть – линейно независимые векторы из H. Тогда векторы , определенные следующими равенствами:

, ;

, ;

 

, ;

,

образуют ортонормированное множество в H. В частности, –ортонормированный базис в H, если H – конечномерно и – базис в H.

Задача 6. Применить процесс ортогонализации к системе векторов пространства : , , .

Решение.

Применим к линейно независимым векторам процесс ортогонализации Грама –Шмидта, считая, что :

;

 

;

;

;

.

Ортонормированная система векторов: , , .

Задача 7. Проверить, что векторы , образуют ортонормированное множество из , и дополнить его до ортонормированного базиса.

Решение.

Проверим, что множество – ортонормированное.

, ;

 

.

Векторы линейно независимы. Дополним до ортонормированного базиса. Для этого найдем вектор , ортогональный к векторам , т.е. удовлетворяющий системе:

.

Размерность пространства решений системы равна 1, фундаментальную систему решений и базис в пространстве решений образует вектор .

Пронормируем f, положив .

Векторы образуют ортонормированный базис в .

Задача 8. Найдите какой-нибудь ортонормированный базис в пространстве евклидова пространства .

Решение.

Найдем произвольный базис в пространстве M. Размерность пространства M равна 2 (dim M=2) и легко проверить, что векторы

,

образуют базис, ортогональны и – нормирован. Остается пронормировать вектор . Положим:

, .

Векторы – ортонормированный базис в M.

 

Задача 9. Построить ортонормированный базис подпространства, натянутого на систему векторов ; ; .

Решение.

Найдем базис в линейной оболочке векторов .

Векторы – линейно независимы, вектор . Следовательно, образуют базис в и .

Применим к базисным векторам процесс ортогонализации Грама-Шмидта:

;

= ;

.

 

Векторы – ортонормированный базис в .

Определение 7. Пусть M – подпространство из H. Вектор x называется перпендикулярным (ортогональным) подпространству M, если , .

Ортогональным дополнением подпространства M пространства H называется совокупность всех векторов из H, каждый из которых ортогонален M.

Для подпространства M евклидова пространства H ортогональное дополнение также является подпространством в H, причем .

 

Задача 10. Найдите ортонормированный базис в ортогональном дополнении к подпространству M евклидова пространства , которое является линейной оболочкой векторов , .

Решение.

Векторы линейно независимы и образуют базис в M.

Найдем какой-либо базис в . Для этого дополним систему векторов до базиса в линейно независимыми векторами a,b (dim =4-2=2) такими, чтобы выполнялись равенства:

, ,

т.е. a,b – базис в пространстве решений системы однородных уравнений:

.

 

Фундаментальной системой решений и базисом в являются векторы , .

Векторы a,b являются ортогональными, так как . Поэтому для получения ортонормированного базиса остается только пронормировать a, b:

, .

Векторы образуют ортонормированный базис в .

 

Задача 11. Найти ортонормированный базис ортогонального дополнения подпространства М, натянутого на векторы:

, , .

Решение.

Найдем базис в подпространстве M.

Составим матрицу .

Ранг матрицы A равен 2, базис образуют векторы .

Так как dim =dim - dim M = 4-2=2, то найдем линейно независимые , принадлежащие , т.е. удовлетворяющие условию: , , . Задача сводится к нахождению фундаментальной системы решений для системы:

.

Общим решением системы является:

.

Фундаментальная система решений:

, .

Векторы – ортогональны. Пронормируем их:

, .

Векторы образуют ортонормированный базис в .

Определение 8. Пусть M – подпространство из H. Вектор a называется ортогональной проекцией вектора на M, если вектор x-a перпендикулярен M.

Теорема. Пусть M – конечномерное подпространство из H и - ортонормированный базис в M. Тогда для любого вектора вектор

является единственной ортогональной проекцией вектора x на M.

 

Задача 12. Найти ортогональную проекцию вектора на линейное подпространство L, натянутое на векторы: , , .

Решение.

Найдем ортонормированный базис в пространстве . Векторы линейно независимы, а вектор , следовательно, – базис в . Применяя к данным векторам процесс ортогонализации, найдем ортонормированный базис:

, .

Найдем проекцию вектора x:

= .

Таким образом, .

 

Укажем другой способ решения задачи 12.

Решение.

Выясним, являются ли векторы , , линейно независимыми:

.

Таким образом, из трех векторов два, например , являются линейно независимыми. Их мы и возьмем в качестве базиса в подпространстве .

2) Разложим вектор по векторам : , где , .

Так как , то , где и – некоторые константы, которые будут найдены в дальнейшем.

Так как , то .

Из следует, что , поэтому

 

.

 

Таким образом,

.

Тогда

.

Задача 13. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство , где , задано системой уравнений:

.

Решение.

Найдем базис в подпространстве , который образует фундаментальная система решений системы уравнений

, описывающей линейное подпространство:

 

 

.

 

Составим таблицу значений переменных

 

	-1
-5

 

Таким образом, фундаментальную систему решений (базис в подпространстве ) составляют векторы , .

Далее задача решается аналогично задаче 12.

 

Определение 9. Величина , где a – проекция вектора x на подпространство M, называется расстоянием от вектора x до подпространства M.

 

Задача 14. Найти расстояние от вектора x до подпространства из задачи 12.

Решение. Найдем . Следовательно, расстояние от вектора x до подпространства равно .

 

Задача 15. Найти расстояние от точки , заданной вектором , до линейного многообразия, заданного системой уравнений:

.

Решение.

Обозначим через – заданное линейное многообразие, – линейное подпространство, соответствующее данному многообразию, – некоторая точка линейного многообразия, – задающий ее вектор, – расстояние от точки до линейного многообразия.

 

 

1. Построим базис линейного подпространства . Для этого найдем фундаментальную систему решений для системы уравнений .

 

 

. Составим таблицу значений переменных

 

-1

 

Таким образом, базис в подпространстве образуют векторы , .

Так как , то (коэффициенты и будут найдены ниже) и .

2. Возьмем произвольную точку линейного многообразия . Положим для простоты , тогда координаты точки удовлетворяют системе , откуда . Таким образом, и, следовательно, .

3. Положим =(4,2,-5,1)-(0,0,-3,6)=(4,2,-2,-5). Пусть , где , .

Так как , то (коэффициенты и будут найдены ниже) и .

Так как , то , откуда следует, что .

Таким образом, и, следовательно, , то есть расстояние от точки до многообразия равно 5.