Решение. Предположим, что зависимость выработки продукции на одного работника характеризуется следующим уравнением:

Предположим, что зависимость выработки продукции на одного работника характеризуется следующим уравнением:

.

На основании исходных данных составляем систему уравнений для определения коэффициентов и .

;

; ;

;

;

; ;

.

Решим эту систему по методу Крамера. Вычисляем определитель системы:

Аналогично вычисляем частные определители, заменяя соответствующий столбец столбцом свободных членов:

; ; .

Коэффициенты уравнения определяются по формулам:

Таким образом, уравнение имеет вид:

.

Возможен и иной подход к определению параметров множественной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

, (4)

где - стандартизованные переменные: , для которых среднее значение равно нулю, а среднее квадратическое значение равно единице;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида для определения стандартизованных коэффициентов регрессии.

 

. (5)

Следует отметить, что величины и называются парными коэффициентами корреляции и определяются по формулам

, . (6)

Решая систему (5) определяем стандартизованные коэффициенты регрессии. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

Пример. Получим для предыдущего примера уравнение регрессии в стандартизованном масштабе.

, , ,

;

;

.

Согласно (5) получаем систему нормальных уравнений в виде:

Окончательно получаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе в виде:

Используя формулы можно вернуться к уравнению «чистой» регрессии:

Сравнивая полученное уравнение с полученным ранее мы видим хорошее соответствие полученных разными способами результатов.