А) Экстремум функции нескольких переменных.

Экстремум функции нескольких переменных.

Необходимое условие.

а) Экстремум функции нескольких переменных.

Обобщим понятия максимума и минимума на случай функции нескольких переменных.

Понятия максимума и минимума для функции нескольких переменных вводятся так же, как и для функции одной переменной.

Пусть в некоторой области Д задана непрерывная функция

Определение. Функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство

Точка , в которой функция имеет максимум или минимум, называются экстремальными точками, а значения функции в этих точках – экстремумами (или экстремальными значениями).

В точке максимума (минимума) функция достигает наибольшего (наименьшего) значения только по отношению к соседним точкам, т.е. точкам лежащим в некоторой окрестности точки максимума (минимума).

Точки максимума и минимума не следует смешивать с точками, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения в области.

 

Из определения следует, что если функция имеет экстремум в точке окрестности , то полное приращение

этой функции в точке удовлетворяет в некоторой окрестности точки одному из следующих условий

в случае максимума

в случае минимума,

т.е. в точках окрестности экстремума не меняет знак.

Если в некоторой окрестности точки выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке .

Эти условия положения переносятся на функции любого числа переменных.

Так же, как и в случае функции одной переменной, возникает вопрос об условиях экстремума.