Спектры сигналов с угловой модуляцией

Формулу однотональной модуляции можно преобразовать к виду:

 

u(t) = U_mcos(b×sin(Wt)) cos(w_ot) - U_msin(b×sin(Wt)) sin(w_ot).

 

При малых значениях индекса угловой модуляции (b<<1, узкополосная модуляция) имеют место приближенные равенства:

 

cos(b×sin Wt)» 1, sin(b×sin Wt)» b×sin w_ot.

 

При использовании этих формул получаем:

 

u(t)» U_mcos w_ot + (bU_m/2) cos[(w_o+W)t] + (-bU_m/2) cos[(w_o-W)t].

 

 

Рисунок 3.1 – Амплитуды гармоник сигналов с угловой модуляцией.

 

Сравнение данного выражения с формулой АМ – сигнала u(t) = U_m cos w_ot + (U_mM/2) cos[(w_o+W)t] + (U_mM/2) cos[(w_o-W)t], позволяет сделать вывод, что амплитудные спектры однотональных ФМ и ЧМ сигналов при b<<1 практически аналогичны АМ сигналам и также содержат верхнюю и нижнюю боковые частоты w_o+W и w_o-W. Различие заключается только в смене знака амплитуды нижней боковой частоты на минус, т.е. в дополнительном фазовом сдвиге нижней боковой частоты на 180⁰ относительно верхней боковой частоты. Соответственно, гармонические АМ сигналы могут быть трансформированы в ЧМ сигналы изменением на 180^о начальной фазы одной из боковых полос. Заметим также, что при малых значениях индекса b основная мощность сигнала (как и в АМ) приходится на несущую частоту.

Математическая модель однотональных ЧМ и ФМ сигналов с любым значением индекса модуляции b в общем случае получается разложением функции в следующий ряд:

u(t)=U_m J_k(b) cos[(w_o+kW)t],

где J_k(b) – функция Бесселя k-го индекса от аргумента b.

Из этого уравнения следует, что спектр сигнала содержит бесконечное число составляющих - нижних и верхних боковых колебаний, с частотами w_o±kW, которые соответствуют гармоникам частоты модуляции, и с амплитудами, пропорциональными значениям J_k(b). Амплитуды пяти первых гармоник и несущей частоты при U_m=1 в зависимости от индекса модуляции приведены на рисунке 3.1

При малой величине индекса b значимые амплитудные значения имеют только первые гармоники. С ростом величины b количество значимых боковых составляющих увеличивается, а энергия сигнала перераспределяется на боковые составляющие. Функции Бесселя имеют колебательный характер, поэтому спектр при удалении от несущей частоты ω_о спадает немонотонно. На рисунке 3.1 можно также видеть, что при определенных значениях индекса модуляции (2.405, 5.52, 8.654 и т.д.) несущая частота w_o в спектре сигнала полностью отсутствует. Форма амплитудный спектров модулированных сигналов при разных индексах модуляции приведена на рисунке 3.2.

 

 

Рисунок 3.2 – Модули спектров ЧМ сигнала при различных индексах модуляции. (несущая частота 2500Гц, гармоника модуляции 25 Гц, шкала частот в Гц относительно несущей)

 

С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется. Практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией определяется по формуле:

 

П_практ = 2(b+1)W,

 

т.е. спектральными составляющими с номерами k>(b+1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при b>>1, при этом эффективная ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

П_практ» 2bW = 2w_d.

 

Отсюда следует, что по сравнению с АМ – сигналами, полоса частот которых равна 2W, для передачи сигналов с угловой модуляцией требуется полоса частот, в b раз большая. С другой стороны, именно широкополосность ЧМ и ФМ сигналов обеспечивает их большую помехоустойчивость по сравнению с АМ сигналами.