Скважине и несовершенной щели в полосообразном пласте

 

Кровля и подошва (первоначальная граница раздела) считаются непроницаемыми, т. е.

, (13.1.5)

На контуре питания для простоты принимается

. (13.1.6)

Уравнение (13.1.4) с граничными условиями (13.1.5) и (13.1.6) можно решить методом интегральных преобразований, применяя последовательно косинус- и синус-преобразование Фурье с конечными пределами и формулы обращения. Такое решение дано в работах [4, 7]:

(13.1.7)

(13.1.8)

Формулы (13.1.7) и (13.1.8) дают распределение потенциала, вызванного точечными стоком или источником, в элементе анизотропного полосообразного пласта. Их можно использовать при экспериментировании на щелевом лотке и для горизонтальной дрены.

Если за горизонтальную скважину принять в соответствии с конвергенцией отрезок вертикальной трещины высотой " С ", равной половине длины окружности скважины С = πr _c, то потенциал такой трещины (горизонтальной скважины) на единицу ширины потока определится интегралом

(13.1.9)

Внося (13.1.7) в (13.1.9) и интегрируя, получаем распределение потенциала Ф ₁( вызванного работой горизонтальной скважины, в интервале >

Потенциал Ф ₂ определяем с учетом (13.1.7) и (13.1.8) как

(13.1.10)

где

q – мощность точечного стока (удельный расход жидкости на единицу ширины потока), м²/с.

После интегрирования и некоторых преобразований получаем следующую формулу для удельного дебита горизонтальной скважины:

(13.1.11)

где

(13.1.12)

(13.1.13)

Р ₀ – среднепластовое давление, Па;

– давление усредненное по стволу скважины или по длине вертикальной трещины, Па.

Принимая в уравнениях (13.1.11)-(13.1.13) , получм решения для скважины-трещины, расположенной в кровле пласта. При следуют формулы для вертикальной трещины, вскрывшей пласт полностью. Оценка погрешности (Δ;,%) формул (13.1.7) и (13.1.8) показали, что она зависит от параметра ρ и числа принятых членов m в бесконечных рядах. Так при ρ;≤1 (сильно анизотропные пласты) при m=1 погрешность составляет не более 0,19 %; при m =4 и ρ;=10 погрешность Δ;=8 %. Поэтому, для практических расчетов в приведенных рядах достаточно удержать не более четырех членов при ρ;=10.

Заметим, изложенная задача детально рассмотрена в работе [19].

Приведем конкретные примеры: Принимаем следующие иходные данные: ; h ₀=10 м; ρ;=1;

По таблицам [21] определяем значения гиперболических функций, входящих в уравнения (13.1.12) и (13.1.13), и находим J ₀= J ₁+ J ₂=39,43. По формуле (13.1.11) определяем q _гс=0,221 м³/сут, что составляет дебит горизонтального ствола длиной L =100 м, Q =0,221∙100=22,1 м³/сут.

Для расчета удельного дебита вертикальной трещины формула (13.1.11) остается справедливой, в которой вместо J ₀= J ₁^*– J ₂^* следует принять

(13.1.14)

Расчеты удельного расхода по формуле (13.1.11) с учетом J _тр=25,19 дают q _тр=0,35 м²/сут или Q _тр=35 м³/сут.

Для сравнения рассчитаем удельный расход для вертикальной скважины в одинаковых условиях. Прежде всего, по исходным параметрам L определим эквивалентный радиус контура питания для круговой залежи, исходя из равенства объемов дренирования вертикальной скважиной и вертикальной трещиной (горизонтальным стволом), т.е. принимаем

Принимая исходные данные, находим R _к=56,43 м. Для безразмерных параметров: из таблиц (см.Прил.1) находим добавочные фильтрационные сопротивления С ₁=4,9. Далее расчет производим по формуле для несовершенной скважины

(13.1.14^')

Внося данные и рассчитанные параметры R _к и С ₁, получаем Q _вс= q _вс∙ h ₀=0,98∙10=9,8 м³/сут.

Сравнивая полученные результаты, видим, что наибольший удельный расход q _вс=0,98 м²/сут дает вертикальная скважина в круговом пласте; затем следует вертикальная трещина Q _тр=0,35 м²/сут и наименьшее значение q _гс=0,22 м²/сут относится к горизонтальному стволу. Однако по дебиту при h ₀=10 м и длины горизонтального ствола (вертикальной трещины) L =100 м имеем: Q _тр=35 м³/сут; Q _гс=22 м³/сут и Q _вс=9,8 м³/сут. Очевидно, что столь низкие дебиты горизонтального ствола и трещины ГРП объясняются весьма низкой проницаемостью K =10 мДа=10^{-14 м2} и малым перепадом давления ΔР =2 МПа. Если, положим, принять K =100 мДа, то дебиты возрастут в 10 раз, т.е. будем иметь: Q _тр=350 м³/сут; Q _гс=220 м³/сут и Q _вс=98 м³/сут.

В заключение отметим, приведенные решения могут быть успешно использованы в теории конусообразования для расчета предельных безводных и безгазовых дебитов и депрессий при дренирвании продуктивных пластов горизонтальными стволами и "несовершенными" вертикальными трещинами ГРП, а так же для расчета дебитов.

13.1.2. Решения для установившегося притока жидкости к горизонтальным стволам скважин с круговым контуром питания. В работах В.С Евченко [10, 12] получена формула для расчета дебита горизонтальной скважины

, (13.1.15)

где

С _г – добавочные фильтрационные сопротивления, обусловленные расположением скважины, длиной скважины, продуктивной толщиной и анизотропией пласта, и определяемые ориентировочно по формулам:

; (13.1.16)

, (13.1.17)

где

R _к – условный радиус контура питания, определяемый из условия геометрии контура питания и площади дренирования А. При выполнении условия автор [10] рекомендует определять радиус контура питания и для вертикальных скважин.

Для перфорированной обсаженной скважины в формулах (13.1.15)-(13.1.18) необходимо учесть добавочные фильтрационные сопротивления С ₀ по формуле (1.1.23), т. е. вместо r _c принять .

Для сравнения приведем формулу для определения C _г Бузинова-Умрихина [22]

(13.1.16')

и Пилатовского В.П.

(13.1.17')

Приведенные формулы дают возможность произвести обработку индикаторных линий и определить параметры пласта для горизонтальных скважин по обычной методике для вертикальных скважин.

 

13.1.3. Приближенное решение задачи для потенциала горизонтального ствола скважины, дренирующего однродно-анизотропный полубесконечный пласт. Для полубесконечного пласта можно получить наиболее простое приближенное решение задачи, рассмотренной в § 13.1.1, если воспользоваться методом зеркального бесконечного отображения точечного стока (источника) в кровлю и подошву пласта [4].

Многократно отражая скважину-сток с интенсивностью q в кровлю и подошву, получаем две бесконечные цепочки: скважин-стоков и скважин-источников с координатами (см. рис. 13.1). Суперпозиция полей двух таких цепочек дает потенциал, который для однородной пористой среды, согласно [4], определится выражением

. (13.1.18)

С целью получения постоянства потенциала j ₀ на контуре l ₁, через который проходит ось z, отобразим все скважины полученных двух бесконечных цепочек на ось z и возьмем величину q с обратным знаком. Таким образом, получаются еще две равнодебитные бесконечные цепочки, являющиеся зеркальным отображением первых двух относительно оси z.

Результат суперпозиции полей последней пары бесконечных цепочек выражается формулой [4, 7].

. (13.1.19)

Результирующий потенциал, очевидно, запишется в форме или

. (13.1.20)

Постоянная интегрирования С определяется из граничного условия: при х =0, j = j ₀. Из формулы (13.1.20) следует, что С = j ₀.

Для однородно-анизотропной среды, где K_х и K_z – проницаемости по горизонтали и вертикали пласта соответственно, требуется решить уравнение фильтрации

. (13.1.21)

Введем новую переменную и характеристику анизотропии æ^*:

. (13.1.22)

Тогда уравнение (13.1.21) переходит в обычное уравнение Лапласа для изотропной среды с координатами х, z '

(13.1.23)

Пласт в новых координатах х, z ', где вертикальные размеры действительного анизотропного пласта изменены в æ;^* раз, назовем приведенным однородным пластом.

Сравним дебит (на единицу ширины потока) q скважины в однородно-анизотропном пласте с дебитом q ' скважины приведенного пласта

. (13.1.24)

Таким образом, решив задачу для приведенного изотропного пласта, воспользуемся старыми координатами, чтобы получить решение для однородно-анизотропного пласта. Нетрудно видеть, что уравнению (13.1.23) удовлетворяет решение, аналогичное решению (13.1.20), которое с учетом (13.1.22) и (13.1.24) при х = l ₁ записывается в безразмерном виде:

(13.1.25)

где

.

Если принять за горизонтальную скважину линию стоков с плотностью расхода q на ширину потока по длине горизонтального ствола L, тогда дебит скважины Q = qL, а уравнение (13.1.25) при переходе от потенциала j к давлению Р при x = h ^* представится в виде:

, (13.1.26)

где

. (13.1.27)

Заметим, уравнение (13.1.25) может быть использовано для расчета предельных безводных (безгазовых) дебитов и депрессий в соответствии с теорией статического конусообразования Маскета-Чарного. Следуя Маскету-Чарному, зону пространственного притока (I) ограничим по длине толщиной пласта h ₀ (рис.13.2). Тогда внешняя зона (П) будет характеризоваться размером (l – h ₀), где будет иметь место плоскопараллельная фильтрация по толщине пласта.

Для ширины потока фильтрация во внешней зоне описывается уравнением

0≤ х ≤( ₁– h ₀). (13.1.28)

При х =( ₁– h ₀) из (13.1.28) следует

. (13.1.29)

При переходе от потенциала к давлению уравнение (13.1.25) для внутренней зоны (I) при ₁= h ₀, = η;^* и давлений Р ₀ на контуре = ₁– h ₀ принимает вид:

, (13.1.30)

где

. (13.1.31)

 

Рис.13.2. Схема притока к несовершенной галерее (вертикальной трещине) и горизонтальному стволу в полубесконечном пласте с односторонним контуром питания

 

Решая совместно (13.1.29) и (13.1.30), находим формулу для удельного расхода горизонтального ствола скважины при двухстороннем контуре питания:

(13.1.32)