Пример Г.12

Построить эпюры реактивных давлений грунта, поперечных сил и изгибающих моментов для балки на упругом основании, показанной на рисунке Г.7.

Дано: Длина балки L = 8 м, ширина b = 1 м, жесткость балки равна 256,8 МПа·м⁴, модуль общей деформации основания Е _о = 42 МПа, коэффициент поперечных деформаций n = 0,35.

 

Рисунок Г.7 — Расчетная схема балки и эпюры р, Q, М к примеру Г.12:

а) расчетная схема балки;

б) эпюра реакций грунта (p);

в) эпюра поперечных сил (Q);

г) эпюра изгибающих моментов (М)

Решение. По формуле (5.72) находим показатель гибкости балки a и соотношение b = l_i / L для сечений 1 – 1, 2 – 2 и 3 – 3:

a =

b₁= 1,6/8 = 0,2;

b₂ = 4/8 = 0,5;

b₃ = 6,4/8 = 0,8.

Затем с помощью таблиц, приведенных в [2], находятся ординаты эпюры реактивных давлений грунта под балкой р ₁ – р ₃ раздельно (таблица Г.7): от силы N при показателе гибкости a = 300 и со­отношении b₁ = 0,2, от действия равномерно распределенной нагрузки q при показателе гибкости a = 300 и соотношении b₂ = 0,5 и от действия изгибающего момента М при показателе гибкости a = 300 и соотношении b₃ = 0,8 (значения р ₁ – р ₃ — см. таблицу Г.7). В таблицах [2] даны значения единичных ординат р для показателя b = 0,2. Из условий симметрии следует, что этому показателю соответствует также значение b = 0,8. Поэтому реактивное давление р в данном случае определяется при b = 0,2, но в обратном порядке.

Таблица Г.7 — Результаты вычислений реактивного давления грунта

	кН/м2	кН/м2		кН/м2
	377,7	–5,1	–5,11	367,49
0,1	278,0	0,5	–2,94	275,56
0,2	200,4	7,2	–2,72	204,88
0,3	141,6	15,5	–3,63	153,47
0,4	97,9	25,7	–4,84	118,76
0,5	65,9	38,3	–5,55	98,63
0,6	42,1	53,7	–4,92	90,88
0,7	23,0	72,3	–2,14	93,16
0,8	5,0	94,6	3,61	103,21
0,9	–15,2	121,1	13,15	119,40
1,0	–41,2	151,9	27,31	138,01

 

Реактивное давление грунта р от совместного действия усилий N, q и М определяется исходя
из принципа независимости действия сил посредством простого сложения значений соответствующих ординат. Результаты вычислений суммарных значений ординат реактивного давления грунта р приведены в последнем столбце таблицы Г.7 и на рисунке Г.7б).

Аналогичным образом в таблицах, приведенных в [2], находятся ординаты эпюр поперечных сил Q ₁ и Q ₂ и изгибающих моментов М ₁ и М ₂ раздельно: от действия на балку только сосредоточенной силы N при a = 300 и b₁ = 0,2 и от действия равномерно распределенной нагрузки q при a = 300
и b₂ = 0,5.

Для показателей гибкости подсчет ординат эпюры поперечных сил Q ₃ от действия на балку изгибающего момента М при a = 300 и b₃ = 0,8 производится при b = 0,8, что из условий симметрии соответствует b = 0,2, но в обратном порядке. Результаты вычислений поперечных сил сведены в таблицу Г.8 и представлены на рисунке Г.7в).

 

Таблица Г.8 — Результаты вычислений поперечных сил
0,1	260,8	–2,4	3,08	261,48
0,2		0,8	5,23
0,3	–214,4	9,6	7,71	–197,09
0,4	–119,2	26,4	11,11	–81,69
0,5	–54,4	52,0	15,34	12,94
0,6	–12,0	8,8	19,64	16,44
0,7	14,4	–20,8	22,64	16,24
0,8	24,0	–34,4	22,28	12,68
0,9	29,4	–28,8	15,85	9,45
1,0
Примечание — Над чертой приведены значения ординат — слева, под чертой — справа от сечения.

 

Для показателей гибкости a = 300 и b₂ = 0,5 подсчет ординат изгибающих моментов М ₃ от действия силы N для a = 300 и b₃ = 0,8 производится из условия симметрии при b = 0,1.

Суммарный изгибающий момент М, возникающий в поперечных сечениях балки от совместного действия сосредоточенной силы, равномерно распределенной нагрузки и изгибающего момента, определяется согласно принципу независимости действия сил сложением соответствующих значений ординат изгибающих моментов (таблица Г.9). Эпюра изгибающих моментов представлена на рисунке Г.7г).

Таблица Г.9 — Результаты вычислений изгибающих моментов

	кН∙м	кН∙м	кН∙м	кН∙м
0,1	108,8		–1,3	107,5
0,2	396,8		–4,9	391,9
0,3	179,2		–9,8	169,4
0,4	44,8	19,2	–17,2	46,8
0,5	–19,2	44,8	–27,8	–2,2
0,6	–44,8	64,0	–41,8	–22,6
0,7	–44,8	64,0	–58,8	–39,6
0,8	–32	38,4
0,9	–6,4	12,8	7,1	13,5
1,0
Примечание — Над чертой приведены значения ординат — слева, под чертой — справа от сечения.