Геометрическая вероятность

О. 1. Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области благоприятных исходов к мере области всевозможных исходов.

В частности, для плоскости согласно определению , где - площадь области благоприятных исходов, - площадь области всевозможных исходов.

Пример 7. (Задача о встрече) Два студента условились встретиться в определённом месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждёт второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Решение. Обозначим событие А – студенты встретятся, тогда противоположное событие - студенты не встретятся. Отложим по оси Ох время прихода первого студента, по оси Оу время прихода второго студента. Тогда точка области с координатами однозначно определяет время прихода обоих студентов. Студенты встретятся, если выполнено условие . Построим две прямые линии и . Область, заключённая между этими линиями внутри квадрата, составляет область благоприятных исходов события А Рис. 1. Для события область благоприятных исходов согласно Рис. 1 состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами, равными , общей площадью, равной . Область всевозможных исходов равна площади квадрата со стороной 1. Следовательно, площадь всевозможных исходов равна . Тогда вероятность события равна . Поэтому искомая вероятность равна .

 

5. Теоремы сложения

Т. 1. Для несовместных событий вероятность появления суммы событий равна сумме вероятностей. То есть .

Доказательство. Пусть опыт имеет n исходов, событию А благоприятствует k из них, а событию В - благоприятствует m. Тогда сумме событий А+В благоприятствуют m+k. Тогда

.

Пример 8. Вероятности получить на экзамене 5, 4, 3 соответственно равны 0,2; 0,3; 0,3. Найти вероятность успешной сдачи экзамена.

Решение. Обозначим события А – студент успешно сдал экзамен; В; С; К – студент сдал экзамен на 5; 4; 3 соответственно. По условию . В силу несовместности событий В; С; К и по условию по теореме имеем .

Т. 2. Для любых событий вероятность появления суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. То есть .

Доказательство. Представим сумму событий А+В в виде суммы несовместных событий , а событие В в следующем виде . Так как в обоих случаях события несовместны, то, применяя первую теорему, имеем ; , из второго равенства получаем . Подставляя в первое, получаем окончательно .

 

6. Теоремы умножения

О. 1. Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло второе событие.

О. 2. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любая комбинация из них независима.

О. 3. События называются зависимыми, если появление или не появление одного из них, изменяет вероятность появления другого.

О. 4. Вероятность события В, вычисленная в предположении осуществления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается .

Пример 9. Из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара, наудачу последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлечённый шар белый если известно, что первый извлечённый шар чёрный.

Решение. Обозначим события А – первый извлечённый шар чёрный, В - второй извлечённый шар белый. Для нахождения искомой вероятности используем классическое определение , где m - число благоприятных исходов, равное числу оставшихся после первого извлечения белых шаров, то есть m =2, а n - число всевозможных оставшихся шаров, то есть n =4. Тогда искомая вероятность равна .

Т. 1. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло. То есть .

Доказательство. Пусть число всевозможных исходов опыта равно n. Из них событию А благоприятствует m из них. Совместному появлению событий А и В благоприятствует k. Тогда , так как число всевозможных исходов для этого условного события равно m (событие А произошло), число благоприятных исходов равно k (событие В происходит при условии появления события А). Для других вероятностей имеем . Подставляя в формулу, имеем тождество.

Следствие 1. Если появление события А не зависит от события В, то появление события В не зависит от события А.

Доказательство. Если появление события А не зависит от события В, то можно записать . Используя две записи теоремы умножения, имеем, подставив указанное условие, получим , разделив обе части на , получим , то есть вероятность появления события В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий.

Доказательство. Применяя первое следствие к теореме умножения, получаем .

Пример 10. Известно, что 85% готовой продукции цеха является стандартной. Вероятность того, что стандартная деталь отличного качества, равна 0,51. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется отличного качества.

Решение. Пусть А - событие, означающее, что взятое наудачу изделие стандартное, В - событие, означающее, что изделие отличного качества. Изделие может быть отличного качества, если оно стандартное. Поэтому из условия задачи следует . Тогда искомая вероятность равна .

 

7. Формула полной вероятности

Т. Если событие А может наступить только при условии появления одного из событий H ₁, H ₂, …. H_n, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H ₁, H ₂, …. H_n на соответствующую условную вероятность события А,

.

Эту формулу называют формулой полной вероятности, а события H ₁, H ₂, …. H_n, причём сумма вероятностей гипотез равна единице, то есть .

Доказательство. Формулу полной вероятности можно вывести на основании теорем умножения и сложения вероятностей. Согласно условию, событие А можно представить в виде суммы несовместных событий . По теореме сложения вероятностей несовместных событий можно записать , применяя теорему умножения к каждому слагаемому получаем

или .

Примечание. Формула полной вероятности используется до совершения события.

Пример 11. Три завода производят одинаковые изделия, которые поступают на один склад, причём первый завод производит 30%, второй 20% и третий 50% всех поступивших на склад деталей. Процент брака для первого завода 5%, для второго 8% и для третьего 10%. Найти вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь окажется браковочной.

Решение. Обозначим события: А - деталь бракованная, так как вероятность этого события зависит от того, на каком заводе она произведена, то добавим следующие гипотезы: Н ₁- деталь произведена на первом заводе, Н ₂- на втором заводе, Н ₃- а третьем заводе. По условию задачи и . Тогда искомая вероятность по формуле полной вероятности равна

.

8. Формула Байеса

Формула Байеса применяется при решении практических задач, когда событие А, появляющееся совместно с каким-либо из событий H ₁, H ₂, …. H_n которые образуют полную группу несовместных событий (гипотез), произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий H ₁, H ₂, …. H_n. Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта), вероятности, то есть, нужно найти условные вероятности .

Пусть событие А может наступить при условии появления одной из гипотез H ₁, H ₂, …. H_n. Вероятность совместного появления события А с одной из гипотез Н_m по теореме умножения равна

_, отсюда или

.

Полученные формулы носят название формулы Байеса.

Пример 12. В первой группе 20, во второй 25, в третьей группе 15 студентов. Вероятность сдать экзамен на отлично для студентов первой группы равна 0,6, для студентов второй – 0,3, для третьей – 0,4. Наудачу взятый студент сдал экзамен на отлично. Найти вероятность того, что он из третьей группы.

Решение. Обозначим события: А - наудачу взятый студент сдал экзамен на отлично, Н ₁ – студент из первой группы, Н ₂ – студент из второй группы, Н ₃ – студент из третьей группы. По условию задачи ; ; ; ; ; . Тогда искомая вероятность по формуле Байеса равна

 

9. Схема независимых испытаний.

Формула Бернулли

На практике приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие А. При этом представляет интерес не исход каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате определённого количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа m появлений события А в результате n испытаний. Рассмотрим случай независимых испытаний.

О. 1. Испытания называются независимыми, если результат одного испытания не зависит от результатов других испытаний и вероятность появления события А в каждом испытании постоянна.

Пусть происходит n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо появиться с вероятностью р, либо не появиться с вероятностью q= 1 -p. Рассмотрим событие В_m, состоящее в том, что событие А в этих n испытаниях появилось ровно m раз и, следовательно, не появилось m-n раз. Обозначим через появление события А, через - не появление события А в k -м испытании. По условию имеем

и .

Событие может появиться m раз в различных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из n элементов по m, то есть . Следовательно, событие В_m можно представить в виде суммы различных комбинаций, несовместных между собой, причём число слагаемых равно .

где в каждое слагаемое событие А входит m раз, а событие входит раз. Вероятность каждой последовательности по теореме умножения равна . Так как общее число таких последовательностей равно , то, используя теорему сложения для несовместных событий, получим вероятность события В_m, равную или . Последняя носит название формулы Бернулли.

Пример 13. Найти вероятность того, что при пяти бросаниях монеты герб появится один раз.

Решение. Вероятность появления герба при одном бросании монеты равна , вероятность его не появления . Тогда искомая вероятность по формуле Бернулли равна .

 

10. Наивероятнейшее число появления событий

О. 1. Наивероятнейшим числом появления события А в n независимых испытаниях называется число m ₀, для которого вероятность, соответствующая этому числу, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события А.

По определению . Из первого неравенства . Отсюда , или . Тогда . Из второго неравенства имеем . Или , или , .

Объединяя, получаем, что наивероятнейшее число удовлетворяет неравенству .

Так как длина интервала, определяемого неравенством, равна единице , а событие может произойти в п испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что:

1) если - целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно и ;

2) если - дробное число, то существует единственное целое число удовлетворяющее полученному неравенству.

Пример 14. Отдел технического контроля проверяет партию из 20 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,88. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.

Решение. По условию задачи имеем п =20; р =0,88;

q =1- p =0,12. Подставляя в неравенство, получим или . Единственное целое число, принадлежащее этому интервалу, 18. Следовательно, наивероятнейшее число стандартных деталей в партии 18.

 

11. Локальная теорема Муавра-Лапласа

При большом числе испытаний пользоваться формулой Бернулли достаточно трудно. Поэтому при большом числе испытаний () пользуются локальной теоремой Муавра-Лапласа.

Т. Если вероятность р наступления события А в п независимых испытаниях постоянна и отлична от нуля и единицы, то при условии, что число испытаний достаточно велико, вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, приблизительно равна ,

где - табулированная чётная функция (см. приложение таблица 1).

Пример 15. Вероятность того, что станок-автомат произведёт стандартную деталь, равна р =0,9. Найти вероятность того, что из 900 изготовленных стандартными будут 804 детали.

Решение. По условию задачи имеем п =900; m =804;

q =1- p =0,1, тогда . Подставляя в формулу, получим

.

 

12. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Т. Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, для любого интервала справедливо следующее соотношение: , где m -число появлений событий А в п испытаниях; и нечётная табулированная функция (см. приложение таблица 2).

Пример 16. Известно, что при контроле бракуется 10% деталей. Для контроля отобрано 500 изделий. Найти вероятность того, что число годных деталей окажется в пределах от 460 до 475.

Решение. По условию задачи n = 500; p = 0,9; q = 0,1; a = 460; b = 475. Подставляя в формулу, получаем

 

13.Формула Пуассона.

Значения вероятностей, получаемых по локальной теореме Муавра-Лапласа, приближаются к значениям, получаемым по формуле Бернулли, тем лучше, чем больше п и меньше p или q, однако это не имеет места, если наряду с увеличением п одна из величин p или q стремится к нулю. В этом случае вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона, которая имеет вид

, где .

Пример 17. Вероятность появления события А в каждом из 250 независимых испытаний равна 0,008. Найти вероятность того, что событие А появится 3 раза.

Решение. Так как по условию задачи вероятность р = 0,008 мала, а число испытаний п = 250 велико, то используем формулу Пуассона. Найдём . Искомая вероятность равна .