Задача №8 5 страница

Розв’язання

1. Будуємо гістограму відносних частот (рис. 1.1) необхідну для цього інформацію вносимо в таблицю 1.1 (п’ять перших стовпців).

Рис. 1.1

Рис. 1. 2

5. Будуємо емпіричну функцію розподілу вибірки (рис. 1. 2):

6.

7. Обчислювану інформацію вносимо в таблицю 1.1 (шостий і сьомий cтовпці).

Таблиця 3.1

	– 0,14		3/300	3/6 = 0,5	– 0,13	0,01	– 2,54	0,29
	­­– 0,12		5/300	5/6 = 0,8 3	– 0,11	0,03	– 2,18	0,67
	– 0,10		8/300	8/6 = 1, 3	– 0,09	0,05	– 1,82	1,38
	– 0,08		13/300	13/6 = 2,1 6	– 0,07	0,10	– 1,45	2,52
	– 0,06		25/300	25/6 = 4,1 6	– 0,05	0,18	– 1,09	3,98
	– 0,04		31/300	31/6 = 5,1 6	– 0,03	0,28	– 0,73	5,53
	– 0,02		42/300	42/6 = 7	– 0,01	0,42	– 0,37	6,74
			50/300	50/6 = 8, 3	0,01	0,59		7,21
	0,02		37/300	37/6 = 6,1 6	0,03	0,71	0,35	6,78
	0,04		27/300	27/6 = 4,5	0,05	0,82	0,72	5,57
	0,06		24/300	24/6 = 4	0,07	0,88	1,08	4,03
	0,08		18/300	18/6 = 3	0,09	0,94	1,44	2,56
	0,10		11/300	11/6 =1,8 3	0,11	0,98	1,80	1,43
	0,12		4/300	4/6 = 0, 6	0,13	0,99	2,16	0,70
	0,14		2/300	2/6 = 0, 3	0,15		2,52	0,30

Примітка. У таблиці 1.1

, .

2. Обчислюємо числові характеристики вибірки : : вреOскільки n = 300 > 30, то . пар ; .

3.Покладаємо, що , і перевіряємо зроблене припущення за допомогою критерію Пірсона: пііп3.1. вчп3.2. , рррвпапаап ііівп ,

де l^* – нове, зменшене порівняно з l, число підінтервалів розбиття інтервалу(a, b), отримане об’єднанням сусідніх підінтервалів з метою задоволення умов , . При цьому (див. табл. 1. 2); [7, l);

l – задане умовою число підінтервалів , , розбиття інтервалу множини значень випадкової величини X інтервалу точками ;

– емпіричні частоти;

– теоретичні частоти;

k – число невідомих параметрів розподілу , ;

причому, оскільки нормальний розподіл визначений при , то , .

3.3. .

3.4.

.

3.5. Обчислюємо реалізацію статистики критерію , за формулою (А), вносимо в таблицю 1.2.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Таблиця 1.2

i
		0,0091		16,537
	0,0137
	0,0288
		0,0504	15,12	11,177
		0,0794	23,82	26,238
		0,1098	32,94	29,174
		0,1335	40,05	44,045
		0,1428	42,84	58,357
		0,1379	41,37	33,092
		0,1105	33,15	21,991
		0,0803	24,09	23,910
		0,0512	15,36	21,094
		0,0287		18,314
	0,0143
	0,0096
		1,0000	300,00	k = 303,932 – – 300 = 3,932

Таким чином, тоді

=

= 15,51 (табл. 4);

.

, отже, гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності приймаємо.

3.6. На гістограму відносних частот накладаємо графік щільності вибраного теоретичного (нормального) закону розподілу:

де замість параметрів використовуються їх вибіркові оцінки і . Отже, при побудові кривої використовуємо таблицю щільності ймовірностей стандартного нормального розподілу у відповідності до формули

враховуючи, що функція є парною. Обчислену інформацію розміщуємо в таблиці 1.1 (два останніх стовпці).

Зауваження. Відмітимо, що теоретичні частоти ми шукали вище, обчислюючи ймовірності за формулою (В), тобто використовуючи функцію розподілу

Ті самі ймовірності можна обчислити, використовуючи щільність розподілу

за формулою

(згідно з теоремою про середнє для визначеного інтеграла)

Відповідні обчислення подано в таблиці 1.3.

4. Шукаємо надійні інтервали для невідомих параметрів і нормальної генеральної сукупності.

Таблиця 1.3

i
				0,0032		17,135
		– 0,14	0,0158	0,0057
	– 0,12	0,0371	0,0134
	– 0,10	0,0761	0,0275
		– 0,08	0,1394	0,0504	15,12	11,177
		– 0,06	0,2203	0,0797	23,91	26,140
		– 0,04	0,3056	0,1105	33,15	28,989
		– 0,02	0,3726	0,1348	40,44	43,620
			0,3989	0,1443	43,29	57,750
		0,02	0,3752	0,1357	40,71	33,628
		0,04	0,3079	0,1113	33,39	21,833
		0,06	0,2227	0,0805	24,15	23,851
		0,08	0,1415	0,0512	15,36	21,094
		0,10	0,0790	0,0286		18,597
	0,12	0,0387	0,0140
	0,14	0,0167	0,0060
				0,0032
				1,0000

Примітка. У таблиці 1.3

А перший і останній (неповні) рядки таблиці враховують, що нормальний розподіл визначений при і що повинна дорівнювати одиниці.

4.1.

(табл. 9),

або

(табл. 5).

Отже, при невідомому невідоме математичне сподівання із надійністю покриває інтервал

4.2. При квантиль розподілу можна знайти за формулою

,

де квантиль стандартного нормального розподілу .

Таким чином,

{ }=

{з табл. 3 }=

Отже, при невідомому невідоме із надійністю покриває інтервал

Задача 9. Два підприємства виробляють дріт: – міцність на розрив (кг/мм²) дроту, виготовленого на підприємстві , – міцність на розрив дроту, виготовленого на підприємстві . Можна вважати і нормально розподіленими і незалежними, а також, що . З кожного підприємства було відібрано і перевірено дріт з 10 котушок. Результати перевірки подано нижче. Необхідно: