Задача №8 4 страница

= P ()= 2 = , Р ()= .

Вище, у першому стовпці, гіпотези (і = ) подано як комбінації елементарних подій. Точка у виразі справа відокремлює першу і другу дії; BS 2 = BS + SB, оскільки події BS i SB мають однакову ймовірність. У другому стовпці подано ймовірності гіпотез P () (і = ) і у третьому – умовні ймовірності P () (і = ).

Тоді згідно з формулою повної ймовірності

P (A) =

маємо

P (A) = ( + + + + + ) = .

2. Згідно з формулами Байєса, враховуючи зміст гіпотез і

_{, маємо}

=

= = ,

 

 

= .

Відповідь: P (A)= , P = , P = .

 

4.2. 3 ² 2, 2 ² 1, 2 ¹ , 6,10,7; , _.

Розв’язання

 

 

 

1. А – результатом останньої дії буде біла куля; Н_і – у діях 1,2 перекладалася і -та комбінація з чотирьох куль; В – перекладалася біла куля; S – перекладалася синя куля.

, P () = , P = ,

, P ()= , P = ,

, P ()= , P = ,

, P () = , P = ,

, P ()= , P = ,

, P () = , P = .

= = .

2. Ураховуючи зміст гіпотез H ₁₂ і H ₂₃ , маємо

P = =

= = ,

P = = = .

Відповідь: P (A) = , P = ,

P = .

Задача 5. Знайти ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А настане рівно М разів, якщо ймовірність настання А в кожному з них однакова і дорівнює р.

Додаткова інформація. а) n; M; p, б) n; M; p.

 

5.1. a) 8; не менше 2 і менше 6; 0,01;

б) 300; менше 71; 0,2.

Розв’язання

Нехай А – подія, задана умовою а); В – подія, задана умовою б). Тоді:

а) ймовірність Р (А), ураховуючи відносно невелике n, шукаємо, використовуючи формулу Бернуллі, точніше одну з її властивостей:

P (A)= .

Маємо:

P (A)= =

= =

=

=

+ =0,002690…;

 

б) ймовірність Р (В) шукаємо, використовуючи інтегральну теорему Муавра-Лапласа:

P_n (а, b)

Маємо:

P (B)= P ₃₀₀(0; 70)

.

 

Відповідь: Р (А) = 0,002690..., Р (В) = 0,9251.

 

5.2. а) 300; 2 або 3; 0,01;

б) 300; більше 190 і не більше 193; 0,6.

Розв’язання

Нехай А – подія, задана умовою а); В – подія, задана умовою б).

а) оскільки р = 0,01 < 0,1 і npq = ,

ймовірність Р (А) шукаємо за формулою Пуассона:

Маємо:

,

б) ймовірність Р (В), оскільки р = 0,6 > 0,5 і

npq = , шукаємо за формулою Муавра –Лапласа

.

Маємо:

 

 

Відповідь: Р (А) = 0,4480..., Р (В) = 0,05218...

 

Задача 6. Дискретна випадкова величина має лише 3 значення , причому і . Відомі зв’язок між ймовірностями , заданий двома рівностями, і числові характеристики : . Знайти: 1) закон розподілу ; 2) функцію розподілу і побудувати її графік; 3) ймовірність Р().

Додаткова інформація: зв’язок між ймовірностями (дві рівності); ;

 

6.1. .

Розв’язання

1. Шукаємо закон розподілу дискретної випадкової величини X у вигляді

X

P .

 

 

Невідомі ймовірності шукаємо як розв’язок системи

Спочатку запишемо її у стандартній формі

А тепер розв’язуємо за допомогою формул Крамера, матричним способом, методом Гауса або методом Жордана – Гауса (якимось одним). Наприклад, методом Жордана – Гауса:

		– 2
	– 1
		– 2
	– 4	– 2	– 3
		– 2
		– 10	– 3
			0,1
			0,6
			0,3

 

Таким чином, = 0,1, = 0,6, = 0,3.

Невідомі шукаємо із системи

~

~

Порівняно із системою відносно ця система є нелінійною. Розв’яжемо її.

З першого рівняння маємо

.

З другого рівняння:

;

;

.

Підставимо спочатку , а тоді у третє рівняння. Маємо:

;

 

;

 

;

 

;

 

;

;

.

Отже,

,

,

Умову задачі задовольняють . Отже, шуканий закон розподілу має вигляд

X – 2 4 7

P 0,1 0,6 0,3. (А)

2. Знайдемо функцію розподілу

(В)

Графік F (x)має вигляд

у

 

– 2 1 4 7 x

3. .

Відповідь: (А), (В), Р () = 0,6.

 

Задача 7. Дана рівність, яка на заданому проміжку визначає функцію (щільність) розподілу неперервної випадкової величини X. Необхідно: а) знайти параметр і щільність (функцію) розподілу, виписати задану і знайдену функцію і побудувати їх графіки; б) обчислити числові характеристики і ймовірність .

Додаткова інформація: або та її область ненульових значень; .

7.1.

Розв’язання

а) Параметр А шукаємо з умови, що на правому кінці її області ненульових значень дорівнює 1:

.

Отже,

(А)

Знайдемо щільність розподілу , використовуючи співвідношення . Маємо

.

 

Отже,

 

(В)

 

Графіки F (x) і f (x) мають такий вигляд:

F(x)

 

 

y = F (x)

 

1 2 3 x (C)

 

f(x)

 

2 y= f (x)

 

 

0 2 3 x

 

б) Шукаємо числові характеристики випадкової величини X:

,

 

,

 

,

,

,

 

Шукаємо ймовірність .

 

=

 

Відповідь: ,

7.2.

Розв’язання

а) Параметр А шукаємо з умови

.

Маємо:

,

звідки

.

Отже,

(А)

Знаходимо функцію розподілу F (x), використовуючи співвідношення

;

.

Отже,

Графіки F (x) і f (x) мають вигляд

у

y = F (x)