Закон Пуассона.

Закон приближения биномиального распределения в случае, когда р – весьма мала, n – весьма велико.

(*)

Пусть , , но .

(1) , .

Распределение дискретной случайной величины согласно (1) называется распределением Пуассона. Это распределение зависит только от а.

Пример.

Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится – 0,0002. найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

p =0,0002; k =3; n =5000

.

 

§4. Непрерывные случайные величины.

 

Под непрерывной случайной величиной понимают случайную величину, возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток.

Определение 1. Пусть F (x) – функция распределения случайной величины Х, F (x) – дифференцируема: .

Случайная величина называется непрерывной, если неотрицательная функция f (x), интегрируемая на всей числовой оси и такая, что .

Определение 2. Функция называется плотностью распределения и плотностью вероятностей непрерывной случайной величины.

(*)

В числителе вероятность того, что случайная величина принимает значение в интервале длиной Δх. Отношение под знаком lim задаёт вероятность, приходящуюся на единицу длины. Беря предел, получим плотность вероятностей.

График функции f (x) называется кривой распределения. Заметим, что f (x) существует только для непрерывной случайной величины.

Из (*) ;

Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, получаем приближённое значение.

Из (1) .

Теорема.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение в интервале от α; до β; .

Доказательство.

F (x) – первообразная для f (x)

По формуле Ньютона-Лейбница

.

Геометрически:

Свойства f ( x ):

1°.

Доказательство: , т.к. по свойству 3 F (x) – неубывающая. Тогда .

2°.

Геометрически 1° и 2° означают, что график функции f (x) расположен выше либо на оси ОХ и площадь под кривой f (x)=1.

Пример.

Задана функция

1) определить а; 2) построить график f (x); 3) определить F (x) и график; 4) .

1) Найдём а:

2)

3)

4) .

 

§5. Числовые характеристики случайных величин.

 

Наиболее полной характеристикой случайной величины является закон её распределения, он даёт все сведения о случайной величине: какие возможные значения она может принимать и с какими вероятностями. Закон распределения случайной величины задаётся функцией распределения F (x) или функцией плотности распределения f (x). На практике часто закон распределения неизвестен, а с другой стороны, нас интересуют более частные сведения, поэтому пользуются более общими характеристиками случайных величин, которые выражают наиболее существенные особенности распределения. Их называют числовыми характеристиками случайной величины:

1) среднее значение или математическое ожидание случайной величины

2) дисперсия случайной величины

3) моменты случайных величин

Каждая из этих характеристик с определённой стороны характеризует случайную величину.