Глава 2. Случайные величины.

§1. Определение случайной величины.

 

Пусть (Е, К, Р) – вероятностная модель некоторого случайного опыта. Рассмотрим примеры числовых функций, аргументом которых является элементарное событие.

Пример.

1. Опыт: бросается монета

2. Рассмотрим схему Бернулли с числом испытаний n и вероятностью успеха p.

Каждому элементарному событию e из Е поставим в соответствие число, равное количеству символов У, сколько есть в такой последовательности. Тем самым мы определили числовую функцию , m – суммарное число успехов за n испытаний, возможных значений .

3. На отрезок АВ числовой оси случайным образом бросается точка.

Рассмотрим событие . Возможные значения этой функции сплошь занимают отрезок АВ.

 

Случайная величина.

Случайная величина и числовая функция элементарного события – это не одно и то же. Мало задать числовую функцию, надо знать вероятности множества значений, которые может принимать эта функция.

Определение. Случайной величиной называется числовая функция элементарного события е, определённая на пространстве элементарных событий Е такая, что для любого определены вероятности событий , где .

состоит из таких элементарных событий, для которых возможные значения числовой функции . Числовая функция осуществляет отображение пространства Е на числовую ось.

Рассмотрим

Требуется, чтобы . В противном случае это не будет событием.

 

 

§2. Функция распределения случайной величины и её свойства.

 

Определение. Функцию называют функцией распределения.

 

 

Эту функцию называют функцией распределения случайной величины Х.

Свойства функции распределения случайной величины:

1. в соответствии с аксиомой 1 и 2.

2.

Доказательство.

 

 

.

3. F (x) – неубывающая функция, -

По свойству 2 .

4. Если функция F (x) непрерывна при x = x₁, то P { X = x₁ }=0.

Функция y = f (x) непрерывна при x = x₁, если .

Дадим Δx, подсчитаем ΔF:

При получим , т.к. F (x) непрерывна при x = x₁.

5. Укажем без доказательства следующее свойство: .

6. .

7. F (x) – непрерывна слева: .

 

 

§3. Дискретные случайные величины.

 

Случайные величины различны по природе. Нужные в практике удовлетворяют случайные величины дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если множество её возможных значений является конечным или счётным.

Дискретная случайная величина полностью определена, если заданы вероятности этих возможных значений.

, P_n ≥0

Обычно дискретную случайную величину (закон распределения случайной величины) задают таблицей.

 

Таблица 1

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

 

Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины.

Пример.

Бросаются две игральные кости: зелёная и красная. Рассматривается случайная величина х – сумма выпавших очков на двух костях. Составить закон распределения этой случайной величины.

, ,

X = i + j

X
P

	зелёная
красная

 

 

Закон распределения может быть задан функцией распределения дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина задана:

 

X
P	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения и построить её график.

 

 

 

График распределения имеет ступенчатый вид. Скачки происходят в точках, соответствующих возможным значениям и скачки равны вероятности этих значений.

 

Примеры дискретных распределений случайной величины:

1. В схеме Бернулли с n испытаниями рассмотрим случайную величину X (e)= m – суммарное число успехов за n испытаний.

0, 1, 2, …, n – возможные значения случайной величины.

Распределение X (e) суммарного числа успехов в схеме Бернулли называется биномиальным распределением.

Биномиальный ряд распределения случайной величины:

 

X			…	m	…	n
P

 

Пример.

Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте – 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Случайная величина Х – число отказавших элементов в одном опыте.

У – отказ; Р (У)=0,1; q =0,9

; ; ; .

 

Х
Р	0,729	0,243	0,027	0,001