Математическое ожидание.

1) Дискретная случайная величина.

Пусть дан ряд распределения дискретной случайной величины

x1	x2	…	xn
p1	p2	…	pn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма попарных произведений возможных значений случайной величины на их вероятности.

Выясним вероятностный смысл математического ожидания.

Пусть произведено n опытов, в результате которых случайная величина X приняла значения:

x₁ – m₁ раз

x₂ – m₂ раз

…

x_k – m_k раз

m₁ + m₂ +…+ m_k = n

Подсчитаем сумму всех значений, которые случайная величина приняла в n опытах.

x₁m₁ + x₂m₂ +…+ x_km_k – сумма всех значений случайной величины за n опытов. Вычислим среднее значение, которое принимает одна величина.

- частота события

При большом n частоты будут приближаться к соответствующим вероятностям ()

При большом числе опытов среднее значение величины равно значению её математического ожидания.

На числовой оси возможные значения случайной величины располагают слева и справа от математического ожидания. Таким образом, математическое ожидание характеризует расположение распределения на числовой оси.

2) Непрерывная случайная величина.

Рассмотрим непрерывную случайную величину, у которой известна плотность распределения f (x), и которая принимает возможные значения на [ a, b ].

Рассмотрим разбиение [ a, b ] точками деления x₀, x₁, x₂, …, x_k, x_k+1, …, x_n = b

Δx_k – длина k -го отрезка разбиения

- параметр разбиения

Если λ; достаточно мало, то приближённо можно считать, что .

Таким образом, мы фактически можем перейти от непрерывной случайной величины к дискретной случайной величине, которая может принимать возможные значения

 

x1	x2	…	xn
f (x1) Δx1	f (x2) Δx2	…	f (xn) Δxn

Чем меньше λ;, тем точнее математическое ожидание характеризует значение непрерывной случайной величины.

Чтобы получить точное равенство, перейдём к

причём в правой части равенства предела стоит интегральная сумма для на [ a, b ].

Так как по определению функция f (x) интегрируема всюду, то предел интегральной суммы существует и равен

.

Если случайная величина принимает значения на всей числовой оси, то математическое ожидание нужно считать на всей числовой оси.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл , при этом предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует .

Свойства математического ожидания:

1°. .

2°. .

3°. .

4°. , если X и Y – независимые случайные величины.