Студопедия — Дисперсия. Дисперсия – какой разброс имеют возможные значения случайной величины от математического ожидания.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дисперсия. Дисперсия – какой разброс имеют возможные значения случайной величины от математического ожидания.






 

Дисперсия – какой разброс имеют возможные значения случайной величины от математического ожидания.

Введём случайную величину - центрированная случайная величина.

нельзя взять за характеристику рассеяния возможных значений, т.к. .

Затем решили перейти к - дисперсия.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Формулы для вычисления дисперсии:

1) дискретная случайная величина

2) непрерывная случайная величина

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной оценки рассеивания удобно пользоваться характеристикой, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины.

- среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия характеризуют наиболее важные черты распределения случайной величины – его расположение и степень разбросанности.

Свойства дисперсии:

1°. .

2°. .

3°. Если X, Y – независимые случайные величины, то .

Примеры непрерывных случайных величин.

1. Равномерно распределённая на [ a, b ] случайная величина Х.

Опыт: на отрезок [ a, b ] бросается точка

 

2. Показательное распределение.

 

 

§6. Нормальный закон распределения случайной величины.

 

Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения.

- это распределение также называется законом Гаусса.

Убедимся в том, что а – математическое ожидание, а σ; – среднее квадратическое отклонение нормального распределения ().

1)

Будем вычислять интеграл методом замены переменной

пределы интегрирования не меняются, т.к. замена линейная.

- неберущийся интеграл, интеграл Эйлера-Пуассона

Замена

 

§7. Функция плотности, кривая Гаусса.

 

Если σ;=1, a =0, то случайная величина имеет стандартное нормальное распределение.

 

§8. Вероятность попадания на заданный интервал нормальной случайной величины.

 

Замена

- неберущийся, т.е. не выражается через элементарные функции, пользуются табл. спец. функции, функцией Лапласа или интегралом вероятности: .

.

Пример.

Случайная величина подчинена нормальному закону

a =30; σ;=10, найти .

.

§9. Вероятность заданного отклонения.

 

Пусть δ;>0 – заданное положительное число. Найти

 

§10. Правило трёх сигм.

 

Положим δ=3σ, найдём

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило используют так: если распределение неизвестно, но выполняется это правило, то есть основания предполагать, что случайная величина распределена нормально.

 

 

Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают закономерности при массовом проявлении случайных явлений.

Нельзя предсказать исход отдельного случайного явления, но оказывается, что средний результат массы случайных явлений является закономерным и может быть предсказан с большой степенью определённости.

 

§11. Закон больших чисел.

 

Закон больших чисел – это совокупность теорем, которые устанавливают с вероятностью как угодно близкой к единице, что наступит некоторое событие, зависящее от неограниченного увеличивающегося числа случайных факторов. Влияние каждого фактора мало по сравнению с суммарным действием всех факторов.

Пусть дана последовательность случайных величин:

x1, x2, xn, (1)
a1, a2, an,

Говорят, что последовательность (1) удовлетворяет закону больших чисел, если ,

т.е. с вероятностью, как угодно близкой к единице наступит событие, состоящее в том, что уклонение среднего арифметического достаточно большого числа случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет сколь угодно малым по абсолютной величине.

 

§12. Неравенство Чебышёва.

 

Даёт оценку вероятности больших уклонений случайной величины от математического ожидания.

Х - случайная величина, D (X) – дисперсия, , тогда .

Доказательство. (проведём для непрерывной случайной величины)

 

 

§13. Теорема Чебышёва.

 

x1, x2, …, xn, … (1)

1. Случайные величины Xk – попарно независимы.

2. Дисперсии этих случайных величин равномерно ограничены: :

Тогда (1) удовлетворяет закону больших чисел.

Доказательство.

Рассмотрим случайную величину

Тогда запишем для этой случайной величины неравенство Чебышёва

.

 

§14. Теорема Бернулли.

 

Это частный случай теоремы Чебышёва.

Производится n независимых опытов, каждый опыт имеет 2 исхода: успех – p, неудача – q.

- суммарное число успехов за n испытаний.

- частота успеха.

Утверждение теоремы: (*)

Доказательство.

Теорема сразу следует из теоремы Чебышёва, если заметить, что случайную величину можно заменить x1 + x2 +…+ xn.

Докажем, что в этом случае выполняются условия теоремы Чебышёва:

1) xk – попарно независимы

2) дисперсии равномерно ограничены

xk 1 0
P p q

Последовательность случайных величин x1 + x2 +…+ xn удовлетворяет всем условиям теоремы Чебышёва, поэтому она удовлетворяет закону больших чисел (*).

 

§15. Центральная предельная теорема.

 

Общий смысл центральной предельной теоремы заключается в следующем: если случайная величина представляет собой сумму слабо зависимых слагаемых и каждое слагаемое невелико по сравнению со всей суммой, то независимо от природы этих слагаемых, т.е. от того, какой они имеют закон распределения, с ростом числа слагаемых распределение этой случайной величины сближается с нормальным законом.

 

§16. Теорема Муавра-Лапласа.

 

Пусть производится n независимых опытов, каждый опыт имеет 2 исхода:

Рассмотрим случайную величину

Утверждение теоремы:

(1)

Вероятность попадания случайной величины на (a, b) считается для нормальной случайной величины.

Без доказательства.

Нормальная сумма:

,

поэтому равенство (1) можно записать более подробно

.

Пример.

Произведено 100 независимых испытаний (n =100), p =0,8. Найти вероятность того, что случайная величина .







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 1059. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм.разновидности агностицизма Позицию Агностицизм защищает и критический реализм. Один из главных представителей этого направления...

Функциональные обязанности медсестры отделения реанимации · Медсестра отделения реанимации обязана осуществлять лечебно-профилактический и гигиенический уход за пациентами...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия