Формула Пуассона.При за умови np=a= =const імовірність появи випадкової події m раз обчислюється за такою асимптотичною формулою: , яка називається формулою Пуассона. Функція Рn (m) визначається за таблицею за заданим m і обчисленим значенням а = np. _________________________________
20. Дискретні та неперервні величини. Закони розподілу їх ймовірностей. Розглянемо такий простір елементарних подій, в якому кожній елементарній події Ώ відповідає одне і лише одне число х або набір чисел , тобто на множині Ώ визначена певна функція , яка кожній елементарній події ставить у відповідність певний елемент одновимірного простору R1 або n-вимірного простору Rn. Цю функцію називають випадковою величиною. У разі, коли відображає множину Ώ на одновимірний простір R1, випадкову величину називають одновимірною. Якщо відображення здійснюється на Rn, то випадкову величину називають n-вимірною. Величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого можливого числового значення з певною ймовірністю. Якщо множина можливих значень випадкової величини є зчисленною то таку величину називають дискретною. У противному разі її називають неперервною. Співвідношення, що встановляє зв’язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм імовірностями, називають законом розподілу випадкової величини. Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі, аналітичній, графічній. Універсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Для дискретних величин _________________________________
21. Функція розподілу ймовірностей та її властивості. Закон розподілу ймовірностей можна подати у формі, яка придатна і для дискретних, і для неперервних випадкових величин, а саме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(х), так звану інтегральну функцію. Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової події Х < x, називають функцією розподілу ймовірностей: F(x) = P(X < x) (1) Властивості F(x): 1. 2. є неспадною функцією, а саме , якщо . _________________________________ 22. Щільність ймовірностей та її властивості. Для неперервних випадкових величин закон розподілу ймовірностей зручно описувати з допомогою щільності ймовірностей, яку позначають f (x). Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається перша похідна від інтегральної функції F(x): звідки Властивості f (x) 1. . 2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х: 3. Імовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервалі обчислюється за формулою 4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини має вигляд _________________________________
23. Математичне сподівання. Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання. Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина Якщо випадкова величина Х Î [а; b], то М (Х) Î [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини. _________________________________
24. Властивості математичного сподівання. 1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій: М (С) = С. 2. М (СХ) = СМ (Х). Для дискретної випадкової величини маємо . Для неперервної: 3. Якщо А і В є сталими величинами, то . _________________________________ 25. Мода та медіана. Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи. Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності: f (Mо) = max. Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними. Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій: Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей: (2) або при Х Î [а; b]: . (3) Отже, Ме — можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рівні частини. _________________________________
26. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення. Математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією. Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х – М (Х)) Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини . Для дискретної випадкової величини Х дисперсія ; для неперервної . Якщо Х Î [а; b], то . Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті. Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії: . _________________________________ 27. Властивості дисперсії. 1. Якщо С — стала величина, то . Справді . 2. . (2) Маємо: 3. Якщо А і В — сталі величини, то . Адже Дисперсію можна обчислити і за такою формулою: Для дискретної випадкової величини Х ; для неперервної Дисперсія не може бути від’ємною величиною . Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання. _________________________________
28. Початкові та центральні моменти. Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х k: . Для дискретної випадкової величини Х ; для неперервної . Центральним моментом k-го порядку називається математичне сподівання від (Х – М(Х))k: (5) Для дискретної випадкової величини для неперервної . _________________________________
29. Асиметрія та ексцес. Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо m3 = 0, то випадкова величина Х симетрично розподілена відносно М(Х). Оскільки m3 має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — коефіцієнт асиметрії: . Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності f (x). Ексцес обчислюється за формулою _________________________________
|