Система двох дискретних випадкових величин.

На одному й тому самому просторі елементарних подій W можна визначити не одну, а кілька випадкових величин. Така потреба постає, наприклад, коли досліджуваний об’єкт характеризується кількома випадковими параметрами.

Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин. Якщо тобто розглядається система двох випадкових величин , то геометрично її можна тлумачити як випадкову точку з координатами на площині або як випадковий вектор, складові якого — випадкові величини

Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n випадкових величин (X₁, X₂, …, X_n) з певною ймовірністю являє собою n-вимірну випадкову величину, яку називають також системою n випадкових величин, або n-вимірним випадковим вектором.

_________________________________

 

31. Закон розподілу ймовірностей дискретної двомірної величини.

Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень Y = y_i , X = x_j та відповідних їм імовірностей спільної появи.

У табличній формі цей закон має такий вигляд:

X=xj Y=yi	x1	x2	…	xm	pyi
y1	p11	p12		p1m	py1
y2	p21	p22		p2m	py2
y3	p31	p32		p3m	py3
…	…	…	…	…	…
yk	pk1	pk2	…	pkm	pym
pxj	px1	px2	…	pxm

Тут використано такі позначення

Умова нормування має такий вигляд:

_________________________________

 

32. Коефіцієнт кореляції та його властивості.

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. З відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:

У разі Κ_ху = 0 зв’язок між величинами Х та Y відсутній.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:

, або .

Якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то Κ_ху = 0 і r_ху = 0. Рівність нулеві r_ху є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.

Дві випадкові величини Х і Y називають некорельованими, якщо r_ху = 0, і корельованими, якщо r_ху ¹ 0.

_________________________________

 

33. Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин та її властивості.

Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х, Y) називають таку функцію двох аргументів х, у, яка визначає ймовірність спільної появи подій (X < x) I (Y < y):

F(x,y) = P((X < x) I (Y < y)).

Властивості F(x, y)

1. 0 £ F(x, y) £ 1, оскільки 0 £ P((X < x) I (y < y)) £ 1.

2. Якщо один із аргументів F(x, y) прямує до + , то функція розподілу системи прямує до функції розподілу одного аргументу, що не прямує до + , а саме:

3.

4.

5. F(x, y) є неспадною функцією аргументів х і у.

Р(а < Х < b, Y < y) = F(b, y) – F(a, y);

P(X < x, c < Y < d) = F(x, d) – F(x, c).

6. Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:

P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c).

_________________________________

 

34. Щільність розподілу двомірної випадкової величини.

Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей.

Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною.

Властивості f (x, y)

1. Функція f (x, y) ³ 0, оскільки F(x, y) є неспадною відносно аргументів х і у.

2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) така:

.

3. Імовірність розміщення системи змінних (х, у) в області обчислюється так:

4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння

5. Якщо , то

_________________________________

35. Основні числові характеристики системи двох неперервних випадкових величин (Х,У).

_________________________________

36. Ймовірність влучення випадкових точок у прямокутник.

Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:

P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c).

Доведення.

Розглянемо такі випадкові події:

A = (X < b, Y < d); B = (X < a, Y < c); C = (a < X < b, Y < c); D = (X < a, c < Y < d); E = (a < X < b, c < Y < d).

Оскільки випадкові події B, C, D, E несумісні, маємо:

A = B U C U D U E.

P(A) = P(B U C U D U E) = P(B) + P(C) + P(D) + P(E).

P(x < b, y < d) = P(x < a, y < c) + P(a < x < b, y < c) + P(х < a, c < у < d) + P(a < x < b, c < y < d).

F(b, d) = F(a, c) + F(b, c) – F(a, c) + F(a, d) – F(a, c) + P(a<X<b,c<Y<d);

P(a<X<b,c<Y<d)=F(b,d)+F(a,c)–F(a, d) – F(b, c), що й треба було довести.

_________________________________

37. Функція 1-ого випадкового аргументу.

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у = (х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y = (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

1) Нехай закон дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х = хi	x1	x2	............	xk
P(X = xi) = pi	p1	p2	.............	pk

Тоді закон розподілу випадкової величини Y = (х) матиме такий вигляд:

Y = α (хi)	α (х1)	α (х2)	..........	α (хk)
P(Y = α (хi) = рi	p1	p2	.........	pk

Умова нормування для f (у):

.

За знайденою f (у) функцією розподілу ймовірностей визначається

.

_________________________________

38. Математичне сподівання функції 1-ого випадкового аргументу.

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у = (х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y = (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

Математичне сподівання дискретного випадкового аргументу

Математичне сподівання функцій неперервного випадкового аргументу:

;

_________________________________

 

39. Функції 2-х випадкових аргументів.

У загальному випадку функцію двох аргументів Х і Y можна позначити як

,

де є невипадковою функцією.

Якщо Х та Y є дискретними випадковими величинами, то і Z буде дискретною. Якщо Х та Y є неперервними, то і Z буде неперервною.

_________________________________

 

40. Математичне сподівання суми двох випадкових аргументів.

Математичне сподівання.

М (Х + Y) = М (Х) + М (Y). (1)

Висновок 1.

М(АХ+ВY+С)=АМ(Х)+ВМ(Y)+С.

А, В, С — деякі сталі.

Висновок 2.

.

_________________________________

 

41. Біноміальний розподіл.

Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:

При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:

.

Імовірнісна твірна функція для біноміального закону

.

Основні числові характеристики:

.

;

.

_________________________________

 

42. Закон розподілу неперервної випадкової величини. Рівномірний розподіл.

Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:

. (1)

Імовірнісна твірна функція:

.

Числові характеристики:

.

_________________________________

 

43. Нормальний розподіл.

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо

f (х) = ,

де а = М (X), s = s (X). Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами а і s і називається загальним.

Тоді

F(x)= dx. (2)

 

Для нормального закону Мо=Ме=а.

Загальний нормальний закон позначають: N (a; s).

_________________________________