Группировка электронов в пространстве дрейфа

Электрон, пройдя первый зазор в момент t₁, войдет во второй зазор в момент t₂:

t₂ = t₁ + s / (v₀ + v₁sinwt₁), (1-7)

где индексы 1 и 2 приписаны соответственно порядку самих резонаторов. Вынося в (1-7) за скобки параметр s/v₀, а затем, проведя его разложение по малому параметру v₁/v₀ и отбросив члены выше первого порядка, получаем:

t₂ = t₁ + (s/v₀)[1 + (v₁/v₀)sinwt₁] ^-1» t₁ + (s/v₀) - (sv₁/v₀²)sinwt₁. (1-8)

Умножим (1-8) на w и введем т.н. параметр группировки X:

X = wsv₁/v₀² = (ws/v₀) (v₁/v₀), (1-9)

который с помощью (1-6) и нового обозначения Q = ws/v₀ - угла пролета в пространстве дрейфа преобразуем к виду:

X = QMU₁/2U₀. (1-10)

Используя введенные обозначения, перепишем уравнение (1-8) в виде

wt₂ - Q = wt₁ - Xsinwt₁. (1-11)

Уравнение (1-11) устанавливает связь фазы прибытия электрона во 2-й зазор от фазы его вхождения в 1-й зазор. Если в 1-м зазоре модулирующее поле отсутствует U₁= 0 и X = 0, то указанные фазы связаны линейно, в общем случае U₁ ¹ 0 и X ¹ 0 эта связь нелинейна, что иллюстрируется Рис.1-3а для параметров X = 0; 0,5; 2,0. С ростом X график функции (1-11) все сильнее отклоняется от прямой и при больших X становится неоднозначным. Значение сказанного станет понятным при рассмотрении формы волн конвекционного тока в пространстве дрейфа.

Чтобы подойти к этому рассмотрению воспользуемся законом сохранения заряда, сделав предположение о том, что электроны по пути следования не теряются на сетках или стенках дрейфового пространства. Пусть некоторый элемент заряда dq, взятый на интервале dx, проходит последовательно два сечения x₁ и x₂ в моменты времени t₁ и t₂. Плоскость x₁ он пересекает за время dt₁ и переносит ток i₁, а плоскость x₂ - за время dt₂ и переносит ток i₂.

dq = i₁dt₁ = i₂dt₂ (1-12)

Перепишем это соотношение i₂ = i₁(dt₁/dt₂) = i₁/(dt₂/dt₁), (1-13)

затем, взяв производную от зависимости (1-11) dt₂/dt₁ = 1 - X coswt₁, подставляем ее в (1-13) и производим замену i₁ на I₀, значение тока еще не возмущенное модуляцией, связывая тем самым сечение x₁ с зазором первого резонатора:

i₂ = I₀/(1 - X coswt₁) или i₂/I₀ = |1 - X coswt₁| ^-1. (1-14)

Выражение (1-14) справедливо для произвольной координаты x₂ дрейфового пространства, нужно лишь иметь в виду, что X зависит от угла пролета Q. Модуль в правой части окончательного выражения (1-14) */ исключает возможные

________________________________________________________________________

*Примечание: Выражение в знаменателе (1-14) представляет собой проекцию трохоиды на ось, перпендикулярную направлению качения оружности.

отрицательные значения тока i₂, для случаев, когда X > 1. Из (1-14) следует, что ток в заданной координате x₂ изменяется периодически с частотой w, но несинусоидально. Вид зависимости тока от времени представлен на Рис.1-4 для X = 0,5; 1,0 и 1,5. Сдвоенные импульсы тока при X > 1 являются следствием неоднозначности зависимости t₂= f(t₁) (Рис.1-3а) и связаны с опережением одних

групп электронов другими. Заметим, что даже слабую модуляцию скорости электронов можно компенсировать увеличением пути дрейфа s, чтобы достигнуть X ³ 1.

Каким должен быть оптимальный угол пролета в пространстве дрейфа Q_опт? Электроны, выйдя из первого резонатора, будут группироваться в пространстве дрейфа относительно того электрона, который пройдет зазор первого резонатора в момент перехода переменного напряжения в нем через 0, но при положительной производной, поскольку медленные электроны, вышедшие из зазора до этого момента, будут догонять более быстрые, вышедшие позднее. Сформированный в пространстве дрейфа сгусток должен входить во второй резонатор в фазе тормозящего поля, чтобы отдать энергию на возбуждение колебаний, т.е.

Q_опт = (ws/v₀)_опт = (3/2)p - y_ос + 2pn = 2p(n + 3/4) - y_ос, n = 0, 1, 2... (1-15)

Здесь y_ос - учитывает сдвиг фаз колебаний между резонаторами за счет обратной связи, если клистрон используется в качестве генератора. Уравнение позволяет найти U_{0 опт} при заданном s, и наоборот - s_опт при заданном U₀.