Элементарная теория ЛБВ

Теория ЛБВ строится в приближении малого сигнала, когда возмущение полей в замедляющей структуре конвекционным током пучка мало. Представим замедляющую структуру ЛБВ эквивалентной длинной линией (Рис.2-5), в непосредственной близости от которой течет продольный конвекционный ток I. Конвекционный ток представим в виде суммы постоянной и переменной слагаемых:

I = I₀ + I₁; |I₁| << |I₀|; I₁ = I_{1 m}exp(iwt - gz). (2-31)

Здесь g может быть комплексной величиной.

Аналогично объемная плотность заряда и скорость его движения могут быть записаны в виде:

r = r₀ + r₁; |r₁| << |r₀|; r₁ = r_{1 m} exp(iwt - gz); (2-31’)

v = v₀ + v₁; |v₁| << |v₀|; v₁ = v_{1 m} exp(iwt - gz).

Здесь g - постоянная распространения волны в структуре с учетом возмущения ее конвекционным током.

Задача о взаимовлиянии конвекционного тока пучка и напряжения в длинной линии решается тремя последовательными действиями: 1) Вначале находится зависимость напряжения длинной линии U_л от возмущения, вносимого конвекционным током; 2) Затем рассматривается обратное влияние полученного напряжения в линии на конвекционный ток; 3) Наконец, объединение выводов позволяет найти связь напряжения в замедляющей структуре с параметрами пучка и коэффициенты усиления ЛБВ.

1) Пренебрегая омическими потерями, запишем телеграфные уравнения длинной линии с учетом влияния переменной составляющей конвекционного тока через наведенный ею ток I_н:

¶I_л/¶z = -iwCU_л + ¶I_н/¶z; ¶U_л/¶z = -iwLI_л. (2-32)

Здесь I_л - ток в линии. При оптимальной связи пучка с линией можно считать наведенный ток равным конвекционному, т.е. ¶I_н/¶z = ¶I/¶z. Считая, что величины U_л и I_л изменяются как и I₁ согласно (2-26) или (2-31), и подставляя их в (2-32), получаем:

- gI_л = - iwCU_л - gI₁; - gU_л = - iwLI_л. (2-33)

Исключая из (2-33) I_л, получаем:

U_л(g² +w²LC) = i gwLI₁, (2-34)

или U_л(g² + k_z²) = i gZ₀k_zI₁

где k_z = w (LC)^1/2 - постоянная распространения волны напряжения в длинной линии без учета влияния тока пучка, wL = Z₀k_z, а Z₀ = (L/C)^1/2 - волновое сопротивление линии. Итак,

U_л = [i gZ₀k_z /(g² + k_z²)] I₁. (2-35)

2) Теперь найдем влияние напряжения линии на конвекционный ток. Представляя ток в виде I = j₁S = ervS, затем подставляя (2-31’) и исключая постоянную составляющую и члены малого порядка, получаем:

I₁ = j₁S = (r₀v₁ + r₁v₀)S, (2-36)

Найдем v₁ из уравнения движения:

m dv/dt = e¶U_л/¶z

или d(v₀ + v₁)/dt = (e/m) ¶U_л/¶z.. (2-37)

Раскрывая полную производную скорости, получаем: ¶v₁/¶t + (v₀ + v₁) ¶v₁/¶z = (e/m) ¶U_л/¶z. (2-38)

Дифференцируя (2-38) после подстановки (2-31’) и пренебрегая v₁², получаем

(iw - v₀g)v₁ = - (e/m) g U_л ,

откуда находим v₁ = - e g U_л/[mv₀(ik_e - g)], (2-39)

где k_e= w/v₀ - волновое число электронной волны.

Найдем теперь r₁ из уравнения непрерывности:

¶j₁/¶z = - ¶r/¶t. (2-40)

Используя (2-29’) и проводя дифференцирование, получаем:

r₁ = - i g j₁/w. (2-41)

Подставим найденные выражения для v₁ (2-39) и r₁(2-41) в (2-36) и разрешим относительно j₁:

j₁ = - ik_er₀geU_л/[mv₀(ik_e - g)²]. (2-42)

Переходя к полному току в сечении пучка I₁ , умножим и разделим (2-42) на v₀, после чего произведем замену параметров: r₀v₀S = I₀, а mv₀²/e = 2U_а. Тогда

I₁ = - iI₀k_egU_л /[2U_a(ik_e - g)²]. (2-43)

Исключая I₁ и U_л из (2-33) и (2-41), получаем общее решение в виде дисперсионного уравнения длинной линии, нагруженной током пучка:

2U_а(ik_e - g)²(k_z² + g²) = I₀k_ek_zg²Z₀. (2-44)

Представим коэффициент распространения волны в линии в виде суммы

g = ik_z + x, (2-45)

где x - является поправкой к постоянной распространения в линии, связанной с влиянием тока, |x| << |k_z|. Считая, что средняя скорость пучка и фазовая скорость волны в линии согласованы, т.е. v₀ = v_ф, будем считать волновые вектора также равными: k_e = k_z = k. Подставляем (2-45) в (2-44) с учетом того, что x = g - ik_z:

2U_аx²(2ikx + x²) = I₀k²(x² + 2ikx - k²)Z₀.

Пренебрегая членами второго и третьего порядка малости (вторым слагаемым слева и первыми двумя - справа), получаем:

x³ = ik³Z₀I₀/4U_а. (2-46)

Обозначим Z₀I₀/4U_а = С₀³, где C₀ - параметр усиления. Тогда решение (2-46) представим в виде кубических корней мнимого числа:

x = kC₀ exp [i(2pn/3 + p/6)], n = 0, 1, 2. (2-47)

В комплексном виде: x₁ = kC₀(0,87 + 0,5i); x₂ = kC₀(- 0,87 + 0,5i); x₃ = -i. (2-48)

Напряжение в линии изменяется согласно определению:

U_л = U_{л m} exp (iwt - gz). (2-49)

Подставляя сюда (2-48) через (2-45), получаем три типа решения для волн в замедляющей структуре:

U_{л 1} = U_{л m}exp{i[wt - k(1 + 0,5C₀)z]}exp(0,87kC₀z); (2-50)

U_{л 2} = U_{л m}exp{i[wt - k(1 + 0,5C₀)z]}exp(- 0,87kC₀z); (2-51)

U_{л 3} = U_{л m}exp{i[wt - k(1 - C₀)z]}. (2-52)

Первые две волны - медленные, вторая волна (2-51) затухает с ростом z, и ее не следует рассматривать. Третья волна (2-52) - быстрая, ей электроны не могут передать энергию, поэтому амплитуда волны остается постоянной. Амплитуда же медленной волны (2-50) возрастает с z по экспоненциальному закону с показателем, определяющим коэффициент усиления ЛБВ, К_у, если положить z = l, где l - длина замедляющей структуры:

К_у = 0,87kC₀ l. (2-53)

Выразим К_у в децибелах:

К_у = 20 lg[U_л(l)/U_л(0)] = 20lg[exp(0,87C₀2pN)] = 47,3C₀N, (2-54)

где N - число волн l_в, укладывающихся на длине структуры. Чтобы учесть потери входного сигнала, будем считать, что этот сигнал делится поровну между тремя волнами, из которых усиливается лишь одна. Это соответствует потере сигнала по мощности в 9 раз или - 9,54 дБ. Кроме того, сигнал теряется на локальном поглотителе - A, дБ. Итоговый коэффициент усиления ЛБВ:

К = 47,3C₀N - 9,54 - A, дБ (2-55)

Усиление лампы зависит в большей степени от длины спирали лампы и в меньшей степени от параметров, определяющих С₀.

Параметр усиления С₀³ = Z₀I₀/4U_а можно также выразить через поток мощности P и амплитуду напряженности поля E_{z m}, полагая, что они связаны между собой через сопротивление связи, роль которого здесь играет волновое сопротивление Z₀: R_св = Z₀ = E_{z m}²/(2k²P):

С₀³ = E_{z m}²I₀/(8k²PU_а) (2-56)

Электронный к.п.д. ЛБВ определим в виде:

h = (W₀ - W_k)/W₀ = 1 - W_k/W₀, (2-57)

где W₀ = mv₀²/2 - начальная кинетическая энергия электронов, а W_k -конечная энергия, которая остается у электрона в конце замедляющей структуры, где v(l) = v_ф = w/[k(1 + 0.5C₀)]. Так как w/k» v₀, W_k = mv₀²/[2(1 + 0,5C₀)²], следовательно

h = 1 - (1 + 0,5C₀) ^-2» C₀. (2-58)

Оказалось, что к.п.д. лампы тоже определяется параметром усиления, который мал в сравнении с 1. Это означает, что к.п.д. тоже невелик. В действительности h у мощных ЛБВ не более 20 -30%. Пути увеличения h: 1)замедление фазовой скорости структуры v_ф синхронно с торможением пучка; 2)наложение постоянного ускоряющего электрического поля вдоль пучка для поддержания синхронизма электронов с волной в тормозящей фазе поля; 3)рекуперация энергии электронного пучка путем его торможения в пространстве между спиралью и коллектором, при котором часть неиспользованной энергии пучка возвращается в источник. Указанные пути позволяют увеличить полный электронный к.п.д. до 50 - 60%.

Рассмотрим характеристики ЛБВ в зависимости от изменения различных параметров (Рис.2-6). Зависимость выходной мощности P_вых от ускоряющего напряжения U_а (а) имеет оптимальное напряжение, при котором v₀ ³ v_ф, когда электроны группируются в тормозящих областях поля волны. При увеличении v₀ выше некоторой пороговой скорости, электроны перестают отдавать энергию волне и, могут даже, наоборот, отбирать от нее энергию, при этом ухудшается и группировка пучка. Амплитудная характеристика ЛБВ (б) показывает нарушение линейности усиления из-за уменьшения коэффициента усиления лампы с ростом мощности входного сигнала выше некоторого уровня P₂, а выше некоторого P₃ выходная мощность может даже уменьшаться из-за нарушения процесса образования сгустков электронов. Частотная характеристика ЛБВ-усилителя в рабочей полосе (в) имеет вид изрезанной холмообразной кривой: на краях полосы коэффициент усиления лампы падает из-за нарушения синхронизма между фазовой скоростью основной волны и скоростью пучка, изрезанность связана с изменением числа замедленных волн n на длине замедляющей структуры.

ЛБВ имеет склонность к самовозбуждению из-за внутренней обратной связи, обусловленной несовершенным согласованием замедляющей системы на выходном и входном фидерах лампы при неполном поглощении отраженных волн развязывающим поглотителем. При оптимальном подборе амплитудного и фазового условия для прошедшей за поглотитель отраженной волны, когда

|A_{вх отр}| / |A_{вх перв}| ³ 1, а l = nlv_ф/2 с, где n = 1, 2, 3..10..., (2-59)

ЛБВ может работать как генератор волн. Для этого нужно лишь создать положительную внутреннюю или внешнюю (по фидеру) обратную связь. Запишем фазовое условие самовозбуждения ЛБВ в виде:

g_ос l _ос + g₀ l = 2pn, (2-60)

которое требует, чтобы суммарный набег фазы в кольце обратной связи (лампа«фидер) был кратным 2p. Для работы в широком диапазоне частот необходимо, чтобы фаза (2-60) в кольце обратной связи при изменении рабочей частоты сохранялась при n=const, т.е.

(g_ос l _ос + g₀ l) = 0 или l _ос/(v_гр)_ос + l / v_гр = 0, (2-61)

где (v_гр)_ос = d w/ dg _ос и v_гр = d w/ dg _о - групповые скорости (движения энергии) волн во внешней цепи обратной связи и в лампе соответственно. При нормальной (положительной) дисперсии оба слагаемых изменяются с w с положительным знаком, и поэтому выполнить требования (2-60) и (2-61) в широкой полосе частот не удается. Несмотря на широкополосные характеристики ЛБВ как усилителя, ее реализация в качестве генератора с широкополосной электронной перестройкой частоты оказалась невозможной. Реальный диапазон электронной перестройки ЛБВ-генератора составляет не более нескольких процентов от средней частоты, что не дает ЛБВ преимуществ по сравнению, например, с отражательным клистроном, имеющим резонансную колебательную систему.