Дисперсионные характеристики замедляющей структуры

 

Рассмотрим пути решения этой проблемы в следующей последовательности: сначала в общем виде рассмотрим дисперсионные свойства периодической передающей линии, проявляющиеся в наличии пространственных гармоник у основной волны передающей линии, затем выведем дисперсионное уравнение для основной волны, например, периодической структуры типа гребенки и, наконец, дадим диаграмму, отображающую дисперсию основной волны и ее гармоник, с помощью которой проиллюстрируем свойство отрицательной дисперсии у обратной волны, которая играет главную роль в ЛОВ.

1)При распространении электромагнитной волны в замедляющей системе, у которой пространственный период h и длина замедленной волны L соизмеримы, волна испытывает пространственно-периодическое возмущение, связанное с ее отражением от дискретных элементов системы. Последующая за этим интерференция отраженных волн с основным типом распространяющейся волны рождает сложное распределение электромагнитного поля вдоль замедляющей системы, которое может быть представлено в виде:

E(x,y,z.t) = E_Mexp{i(wt - gz)}A(x,y,z), (2-62)

гдеA(z) - периодическая функция с периодом, равным шагу замедляющей структуры h. Согласно теореме Флоке:

A(x,y,z +nh) = A(x,y,z), (2-63)

где n = 0; ±1; ±2... Периодическая функция (2-63) может быть представлена рядом Фурье по пространственным гармоникам:

A(x,y,z) = a_m(x,y) exp{- i2pmz/h}. (2-64)

Подставив (2-64) в (2-62), получим электрическое поле в виде ряда

E(x,y,z.t) = E_Mm (x,y) exp i{wt - (g +2pm/h)z}. (2-65)

Здесь: E_{m k} = E_ma_k- амплитуда гармоник. Выражение

(g₀ +2pm/h) = g_m (2-66)

будем рассматривать как постоянную распространения гармоник, а g₀ - как постоянную распространения основной волны, когда m = 0. Из (2-66) получим выражение для фазовой скорости волны и ее гармоник:

v_фm = w/g_m = w/[g₀(w) +2pm/h]. (2-67)

Номера гармоник m могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, при этом с ростом m модуль фазовой скорости уменьшается, что облегчает условие синхронизации с пучком, поскольку позволяет снизить его скорость. При m<0 фазовая скорость гармоник отрицательна. C ростом m второй член в знаменателе (2-67) может превзойти g₀(w) и тогда v_фm будет стремиться к пропорциональности с w.

Групповая скорость гармоник согласно определению и (2-66):

v_грm = dw/dg_m = dw/dg₀ = v_{гр 0}, (2-68)

оказывается не зависящей от m и синхронна с групповой скоростью основной волны.

 

2)Дисперсионные свойства основной волны рассмотрим на примере замедляющей структуры типа гребенки (Рис.2-7а). Пусть высота зуба L, его толщина d и период повторения h по отношению к длине волны в вакууме l удовлетворяют неравенствам:

l > L >> h >> d; l > L. (2-69)

Выберем направление осей: x - по нормали к плоскости гребенки, y - вдоль пазов гребенки, z -в направлении распространения волны. Поле поверхностной волны при удалении от гребенки по x экспоненциально убывает, как это видно из уравнений для комплексных амплитуд:

E_x1 = ig₀pA exp(-px)exp(-ig₀z),

H_y1= iwe₀pA exp(-px)exp(-ig₀z), (2-70)

E_z1 = p²A exp(-px)exp(-ig₀z),

H_x1 = E_y = H_z = 0.

Поле в пазах гребенки, которые можно рассматривать как закороченные отрезки плоских волноводов длиной L имеет лишь две составляющие:

E_z2 = Bsin[k(x + L)],

H_y2 = iBZ₀^-1cos[k(x + L)], (2-71)

где g₀ = 2p/L - продольное волновое число замедленной волны; A, B - амплитудные коэффициенты, Z₀ = (m₀/e₀)^1/2 - волновое сопротивление вакуума. Приравнивая попарно тангенциальные электрические и магнитные составляющие поля на границе раздела, x = 0: E_x1 = E_x2; H_y1 = H_y2 и затем деля почленно одно уравнение на другое:

E_x1/H_y1 = E_x2/H_y2 , (2-72)

получаем характеристическое уравнение гребенки вида:

p = k tg(kL). (2-73)

Продольное волновое число замедленной волны g связано с поперечным волновым числом p и волновым числом плоской волны k характеристическим уравнением:

g₀ = (k² + p²)^1/2. (2-74)

Исключив p из уравнений (2-73) и (2-74), получаем дисперсионное уравнение гребенки:

g₀ = k /cos (kL), (2-75)

которое легко может быть преобразовано к виду:

v_ф0 = c cos (kL). (2-76)

Рис.2-7б иллюстрирует формулу (2-76) для r = µ, где r = L/h - параметр, отсутствующий в данном выводе, в виду того, что шаг гребенки согласно (2-69) принимался малым g₀h <<1. Область существования замедленной волны находится в интервале 0 < kL < p/2 (т.е. 0 < L < l/4). В области p/2 < kL < p такой волны нет, так как правая часть (2-73) отрицательна. При L® 0, p® 0, v_ф ® с, по оси z распространяется обычная плоская волна. Строгая теория с учетом конечного значения периода решетки и его параметра r заметно корректирует дисперсию гребенки (Рис.2-7б). Учет высших пространственных гармоник показывает, что поверхностная волна может распространяться лишь при условии g₀b £ p, когда b £ L/2. Попытка дальнейшего замедления приводит к срыву волны. Крайние правые точки на Рис.2-7б соответствуют именно этому условию g₀b = p.

 

3) Проиллюстрируем сказанное диаграммой w - g_m (Рис.2-8). Пусть пунктирная прямая отображает рабочую частоту w = w₁, которая находится в середине полосы пропускания, ограниченной снизу частотой отсечки w_с передающей линии (гребенчатой структуры, заключенной в волновод), а сверху - частотой w_p, при которой сдвиг фаз на одну ячейку для основной гармоники (m=0) составляет p (L=l_p/4), когда волна, входящая в периодическую структуру, полностью отражается назад, и ее распространение прекращается. Для основной волны зависимость w=f(g₀) получим из (2-75). Наклон касательной к дисперсионной кривой в точке пересечения с прямой w = w₁ соответствует v_гр0(w₁) (2-68), а наклон прямой, соединяющей начало координат с этой точкой, соответствует v_ф0(w₁), что говорит о нормальной (положительной) дисперсии основной волны. На краях полосы пропускания касательные к дисперсионной кривой становятся горизонтальными, так как v_гр0®0, распространение прекращается. Дисперсионные зависимости для гармоник основной волны m = ± 1, ±2...согласно (2-66) повторяются с периодом 2p/h вправо и влево по оси g. При этом касательные к точкам их пересечения с w=w₁ имеют одинаковый наклон: v_грm(w₁) = v_гр0(w₁), что вытекает из (2-68), а прямые из начала координат в эти же точки пересечения имеют разный наклон не только по величине, но и по знаку. С ростом m наклон уменьшается, что говорит об уменьшении фазовой скорости гармоник. Заполнение разрывов между дисперсионными кривыми симметричными пунктирными линиями не имеет физического смысла. Этот смысл появляется тогда, когда область отрицательных значений g мы переносим в область положительных значений для более компактного изображения графика или когда изменяем направление самой волны. Дисперсионная кривая гармоники m = -1 показывает, что ее групповая и фазовая скорости имеют противоположное направление, при этом она обладает аномальной дисперсией: dv_ф(-1)/dw>0, удовлетворяющей условию (2-61), которое не выполняется для основной волны, используемой в ЛБВ, в качестве генератора. Высшие гармоники с |m| >1 не имеют практического значения, так как их поле все сильнее прижимается к поверхности замедляющей структуры (x=0) и все слабее взаимодействует с электронным пучком, имеющим конечный поперечный размер по x.