Функция распределения и ее свойства.
Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных) является функция распределения. Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x: F(x)=P{X<x}. (F1) она не убыва ет: если X1<X2 событие
(F2) cуществуют пределы
Покажем, что Достаточно доказать, что
|
то 
; Доказательство свойство: для любых чисел
влечет событие 
т.е 
Но вероятность монотонная функция событий, поэтому 
и 
Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции. Остается лишь доказать равенства
Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности, так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов Докажем, что 
при 
. Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий: 
Пересечение В всех этих событий состоит из тех и только тех w, для которыхE(w) меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода w значениеE(w) вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий Bn не содержит элементарных исходов, т.е. 
. По свойству непрерывности меры,
при 
. Обозначим черезBn собитие 
События Bn вложены: 
а пересечение B этих событий снова пусто — оно означает, что E больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, 
при 
