Пример 8.4.

Рассчитаем плоскую раму (рис.8.27, а) методом перемещений и выполним при этом все необходимые проверки. Последователь­ность расчета следующая.

1. Определение степени кинематической неопределимости

Степень кинематической неопределимости определяем по формуле:

,

где n_у - число неизвестных углов поворота, равное всегда коли­честву жестких узлов рамы, исключая опорные; n_л - число незави­симых линейных перемещений узлов рамы, равное степени геомет­рической изменяемости шарнирной схемы рамы, полученной из заданной путем введения во все жесткие узлы, включая опорные, полных шарниров.

В заданной раме n_у = 1. Для определения n_л вводим во все жесткие узлы, включая опорные, полные шарниры и находим сте­пень геометрической изменяемости полученной шарнирной схемы рамы (рис.8.27, б) по формуле (8.2):

n_л = W = 2У – С – С₀,

где У = 5 - число узлов в шарнирной схеме рамы, включая и опор­ные; С = 4 - число стержней в шарнирной схеме рамы; С_о = 5 -число опорных связей с землей шарнирной схемы рамы.

n_л =2×5 - 4 - 5 = 1.

Полученное значение говорит о том, что шарнирная схема один раз геометрически изменяема. Действительно, под действием силы P узлы A, B и D могут переместиться влево, так как левый конец ригеля AB этой системы опирается на шарнирно-подвижную опору А, не препятствующую этому перемещению.

Таким образом, заданная рама имеет одно угловое и одно ли­нейное неизвестное перемещение, а общее количество неизвестных будет равно двум:

n = n_y + n_л = 1 + 1 = 2.

Заданная рама дважды кинематически неопределима.

2. Получение основной и эквивалентной систем метода перемещений

Основную систему метода перемещений получаем путем поста­новки дополнительной заделки в узле В, препятствующей неизвест­ному угловому перемещению, и дополнительного горизонтального опорного стержня в опоре А, препятствующего неизвестному ли­нейному перемещению (рис.8.27, в).

Рис.8.27

 

Загрузив основную систему внешней нагрузкой и неизвестными перемещениями Z ₁ и Z ₂ , равными по величине действительным перемещениям заданной системы, получим эквивалентную систе­му, деформирующуюся тождественно заданной (рис.8.27, г).

3. Составление канонических уравнений метода перемещений

Как было указано выше, суммарная реакция в каждой дополни­тельно введенной связи от всех действующих в эквивалентной системе факторов равна нулю, так как эквивалентная система пол­ностью совпадает с заданной (в которой эти связи отсутствуют) и реакций в них быть не может.

В развернутом виде канонические уравнения имеют вид:

4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений и проверка правильности их вычисления

4.1. Определение коэффициентов канонических уравнений

Для определения коэффициентов необходимо построить еди­ничные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной сис­теме метода перемещений. Для их построения используются таб­лицы эпюр изгибающих моментов и реакций статически неопре­делимых балок (см. табл.8.1-8.3).

Единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов, постро­енные в основной системе для рассматриваемого примера, показа­ны на рис.8.28, а, в, д.

Для определения реактивного момента r ₁₁, возникающего в до­полнительно поставленной заделке узла В от поворота этого узла на угол Z₁ = 1, вырезаем узел В из эпюры M ₁ (рис.8.28, б) и решаем уравнение равновесия :

, откуда .

Реактивный момент в дополнительно поставленной заделке уз­ла В от линейного смещения Z₂ = 1 узлов В и С определяем из ус­ловия равновесия узла В, вырезанного из эпюры М ₂ (рис.8.28, г):

.

 

Рис.8.28

 

Такая же по величине, согласно теореме о взаимности реакций, будет и реактивная сила r ₂₁, возникающая в дополнительно постав­ленном горизонтальном стержне опоры А от поворота заделки уз­ла В на угол Z₁ = 1:

r₁₂ = r₂₁ = 0,375 EJ_с.

Реактивный момент R _{1 Pq} , возникающий в заделке узла В от внешних нагрузок Р и q, найдем из уравнения равновесия узла В, вырезанного из эпюры М_Pq (рис.8.28, е):

кН×м.

Реактивное усилие r₂₂, возникающее в горизонтальном опор­ном стержне опоры А от перемещения узлов В и С на величину Z₂ = 1, найдем проведя разрез I-I на эпюре M ₂ (см. рис.8.28, в) и определив действующие в местах сечения элементов горизон­тальные усилия (рис.8.7,а) из уравнения равновесия :

.

Рис.8.29

 

Проведя разрез II-II на эпюре M_Pq (рис.8.28, д) и определив горизонтальные усилия в рассеченных элементах, из уравнения найдем реактивное усилие R _{2 Pq} , возникающее в дополни­тельно поставленном опорном стержне опоры А от действия внеш­ней нагрузки (рис.8.29, б):

кН.

Определяя реактивные усилия, всегда следует иметь в виду, что они считаются положительными, если направления их действия совпадают с принятым направлением действия неизвестных пере­мещений Z ₁ и Z ₂.

4.2. Проверка правильности вычисления коэффициентов

Проверка правильности вычисления главных и побочных коэф­фициентов канонических уравнений метода перемещений выпол­няется аналогично проверке коэффициентов уравнений при рас­чете методом сил, то есть проверяется удовлетворение равенства
, где - сумма всех найденных еди­ничных коэффициентов;

- интеграл, опреде­ляемый по правилу Верещагина, т.е. умножением суммарной еди­ничной эпюры M_s (M_s = M ₁ + M ₂) на себя.

Удовлетворение этого равенства свидетельствует о правильнос­ти вычисления главных и побочных коэффициентов.

Таким образом, для выполнения этой проверки, называемой универсальной, необходимо построить суммарную единичную эпю­ру изгибающих моментов в основной системе метода перемещений M_s = M ₁ + M ₂ . Эта эпюра обычно строится путем сложения еди­ничных эпюр M ₁ и M ₂.

Для данного примера она представлена на рис.8.30, а.

Рис.8.30

 

Определив

;

видим, что равенство удовлетворяется. Таким образом, коэффици­енты вычислены верно.

4.3. Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов

Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов заключается в определении суммы всех найденных грузовых коэф­фициентов и величины , определяемой по правилу Верещагина, т.е. сопряжением суммар­ной единичной эпюры с эпюрой изгибающих мо­ментов , построенной в основной статически определимой си­стеме метода сил от действия только внешних нагрузок P и q. При правильном определении грузовых коэффициентов величины и должны быть равны, т.е. .

Построив эпюру (рис.8.30, б), определяем величины и :

.

Сопрягая эпюру M_s с эпюрой по правилу Верещагина и взяв полученное выражение со знаком «минус», определяем:

Равенство свидетельствует об отсутствии ошибок при вычислении грузовых коэффициентов. Здесь же следует еще раз отметить, что при сопряжении эпюр всегда надо помнить, что эле­менты рамы имеют различные жесткости ().

5. Решение системы канонических уравнений и проверка правильности вычисления неизвестных

Подставив найденные значения коэффициентов в канониче­ские уравнения, получим:

Решив эту систему уравнений, находим:

Проверку правильности решения системы уравнений произве­дем путем подстановки найденных значений Z ₁ и Z ₂ в оба уравне­ния. В результате оба уравнения должны обратиться в тождества. Это будет свидетельствовать о правильности решения системы ка­нонических уравнений:

Оба уравнения обратились в тождества. Следовательно, система решена верно.

6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Мок для заданной системы

Построение окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок для заданной системы производим на основании принципа незави­симости действия сил по формуле:

М_ок = M ₁ Z ₁ + M ₂ Z ₂ + M_Pq,

т.е. путем сложения «исправленных» единичных эпюр М ₁, М ₂ и грузовой эпюры М_Pq , построенных в основной системе метода перемещений.

Значения ординат «исправленных» эпюр M Z ₁ и M Z ₂ получим путем умножения ординат единичных эпюр M ₁ и M ₂, соответст­венно, на значения Z ₁ и Z ₂, найденные в результате решения системы канонических уравнений метода перемещений, с учетом их знака. Исправленные эпюры M ₁ Z ₁ и M ₂ Z ₂, полученные таким образом, представлены на рис.8.31, а и 8.31, б.

Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок определяем по вышеуказанной формуле в табличной форме (см. табл.8.5), предварительно приняв для этого нумерацию характер­ных сечений рамы и правило знаков для ординат эпюр изгибающих моментов (рис.8.30, в). В ригеле 0-2 эпюра изгибающих моментов изменяется по закону квадратной параболы, так как действует рав­номерно распределенная нагрузка. Поэтому в ригеле может иметь место экстремальное значение изгибающего момента. Для выясне­ния этого рассмотрим ригель 0-2, вырезанный из статически неоп­ределимой рамы, на который действуют равномерно распреде­ленная нагрузка q = 20 кН/м и опорные моменты в сечении 0: М ₀ = 0 и в сечении 2: М ₂ = -19,71 кН×м (рис.8.31, в).

 

Таблица 8.5

Номер сечения	M1×Z1, кН×м	M2×Z2, кН×м	Mpq, кН×м	Mок, кН×м
	10,14		20,0	30,14
	20,29		-40,0	-19,71
	-13,53	24,12	-10,0	0,59
	-3,38		10,0	6,62
4’	-3,38		10,0	6,62
	6,76	-24,12	-10,0	-27,36
	-20,29			-20,29
		12,06		12,06

 

Аналитическое выражение изменения изгибающего момента в зависимости от текущей абсциссы z для рассматриваемого элемен­та имеет вид:

. (8.25)

Для нахождения положения сечения, в котором может возник­нуть экстремальное значение изгибающего момента, приравняем первую производную изгибающего момента нулю:

. (8.26)

Определив из уравнения равновесия величину опорной реакции Q₀ и решив (8.26), найдем z₀, т.е. абсциссу сечения, где возникает экстремальное значение момента:

;

кН;

Таким образом: м.

Подставив найденное значение z₀ = 1,75 м в аналитическое вы­ражение изменения момента (8.25), определяем величину:

кН×м.

По найденным значениям ординат строим окончательную эпю­ру изгибающих моментов для заданной системы (рис.8.31, г).

7. Проверка правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок

Для того, чтобы убедиться в правильности построения эпюры М_oк, производим статическую и деформационную проверки.

Для статической проверки, как и в методе сил, вырезаем неза­крепленный жесткий узел В из эпюры М_oк , прикладываем действу­ющие в нем изгибающие моменты и проверяем удовлетворение уравнения равновесия (рис.8.31, д):

.

Следовательно, узел В находится в равновесии, что свидетель­ствует о правильности построения эпюры М_oк. Однако, как и в методе сил, уравнения равновесия жестких незакрепленных узлов системы иногда удовлетворяются и при неправильно построенных в основной системе единичных и грузовых эпюрах, а также непра­вильном вычислении величин неизвестных перемещений. Поэтому для полной гарантии правильности построения эпюры М_oк сделаем деформационную проверку, физический смысл которой состоит в проверке отсутствия перемещений в сечениях заданной системы, в которых заведомо они отсутствуют.

Проверим отсутствие перемещений по направлению опорного стержня опоры А заданной системы. Выбрав основную систему ме­тода сил и приложив единичную сосредоточенную силу Х = 1 в сечении А по направлению опорного стержня, строим единичную эпюру изгибающих моментов М_{X =1} (рис.8.9, е) и после чего вычис­ляем интеграл Мора по правилу Верещагина. Сопрягая эту эпюру с эпюрой М_oк, получим:

Вертикальное перемещение сечения А отсутствует, следователь­но, эпюра М_oк построена верно.

Рис.8.31

 

8. Построение эпюры Q по эпюре М_ок

Эпюру Q для заданной системе по эпюре М_oк строим, как и в методе сил, используя для определения ее ординат формулу (8.26).

Учитывая принятое правило знаков при построении эпюры М_oк , обход рамы производим слева направо, начиная с опоры А и находясь все время лицом к оси каждого участка рамы. Последова­тельность обхода показана на рис.8.30, в пунктиром со стрелками.

Участок 0-2. На этом участке действует распределенная внешняя нагрузка q = 20 кН/м и опорные моменты М_пр = М ₂ = -19,71 кН×м и М_лев = М ₀ = 0:

, где 0 £ z £ l ₁ = 4 м.

Откуда, при z = 0:

кН,

a при z = 4

кН.

Участок 3-4. На этом участке нагрузка отсутствует, поэтому:

кН.

Участок 4¢-5. Аналогично:

кН.

Участок 6-7. Аналогично:

кН.

Участок 8-9. На этом участке нагрузка также отсутствует, по­этому:

кН.

По найденным ординатам строим эпюру Q для заданной рамы (рис.8.32, а).

Рис.8.32

9. Построение эпюры N для заданной рамы

Ординаты эпюры N определяем из уравнений равновесия и вырезанных из эпюры Q узлов рамы. К вырезан­ным узлам прикладываем действующие в них поперечные силы Q и искомые продольные силы N, составляем уравнения равновесия узлов и решив их, вычисляем ординаты эпюры N. При этом нор­мальные силы направляем от узла, предполагая, что все элементы рамы растянуты, а направление поперечных сил принимаем соглас­но следующему правилу: если поперечная сила положительная, то она должна вращать узел по ходу часовой стрелки, а если отрица­тельная - то против хода часовой стрелки.

Узел D:

кН (растяжение);

кН (сжатие).

Узел В:

;

кН (сжатие).

По найденным ординатам строим эпюру N (рис.8.32, б).

10. Статическая проверка рамы в целом

Для выполнения этой проверки необходимо убедиться в спра­ведливости трех уравнений равновесия ; ; для любой отсеченной части рамы. Отсечем заданную раму от всех опор и приложим в местах сечений действующие в них силовые факторы, величины и направления которых берем из эпюр M_ок, Q и N (рис.8.32, в).

Составив уравнения равновесия, проверяем их удовлетворение, т.е. обращение их в тождество:

;

;

.

Все уравнения обратились в тождества, следовательно, рама находится в равновесии и эпюры Q, N и M_ок построены верно.

 

8.8. Учет продольных сил в расчетах сооружений методом перемещений

 

Необходимость учета продольных сил при расчете стержневых систем методом перемещений требует особого подхода к определению количества неизвестных в решаемых задачах. При этом формула (8.1) остается справедливой, т.е. по-прежнему

.

Число неизвестных угловых перемещений n_θ остается таким же, как и в случае, когда влиянием продольных сил на конечный результат расчета мы пренебрегаем, т.е. оно равно количеству жестких узлов сооружения. В рассматриваемом случае иным становится число неизвестных линейных перемещений узлов системы n_Δ, которое определяется по шарнирной схеме сооружения, образуемой теперь не только введением режущих цилиндрических шарниров в жесткие узлы, но и удалением тех элементов, где требуется учесть продольные силы.