Ограниченность классических определений вероятности.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей (см. 8) и, конечно, использованием аксиоматической вероятности (см, 3, замечание).

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения (см. 3), сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то m = n и относительная частота

m / n = n / n = 1,

 

т. е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.

Если событие невозможно, то m = 0 и, следовательно, относительная частота

0 / n = 0,

 

т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события 0 <= m <= n и, следовательно, относительная частота

0 <= m / n <= 1,

т. е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т. д.

4. Вероятностное пространство (Ω, S, Р). Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Описание конечного вероятностного пространства в аксиоматике Колмогорова.

Вероятностное пространство — это тройка , где:

• — это множество объектов , называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход , который произошел в данной реализации опыта.

• — это некоторая зафиксированная система подмножеств , которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие , то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
• Пустое множество должно быть событием, то есть принадлежать . Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
• Все множество также должно быть событием: . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
• Совокупность событий должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если и , тогда должно быть , , . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
• В дополнение к указанным свойствам, система должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если , тогда должно быть и .

• — это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число , которое называется вероятностью события . Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
• для любого
• ,
• Если и — события, причем , тогда (свойство аддитивности).
• Если , причем Если для любых Если , тогда должно быть (свойство сигма-аддитивности).

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры:

• Если и , тогда .
• Если и , тогда .
• Если , и , тогда .

 

Пусть — множество элементов , которые называются элементарными событиями, а — множество подмножеств , называемых случайными событиями (или просто — событиями), а — пространством элементарных событий.

• Аксиома I (алгебра событий). является алгеброй событий.
• Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число , которое называется вероятностью события x.
• Аксиома III (нормировка вероятности). .
• Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то

.

Совокупность объектов , удовлетворяющая аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента , — из и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено . Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.