Формула Байеса (теорема гипотез).

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н ₃/ А) = 0. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

(3.2)

Действительно, из (2.7) получим, что откуда следует справедливость формулы (3.2).

Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н ₁ – первый попал, а второй промахнулся, Н ₂ – первый промахнулся, а второй попал, Н ₃ – оба попали, Н ₄ – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н ₁) = 0,6·0,3 = 0,18, р (Н ₂) = 0,4·0,7 = 0,28, р (Н ₃) = 0,6·0,7 = 0,42, р (Н ₄) = 0,4·0,3 = 0,12.Тогда р (А/Н ₁) = р (А/Н ₂) = 1, р (А/Н ₃) = р (А/Н ₄) = 0. Следовательно, полная вероятность р (А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим: