Формы представления чисел

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

1. естественная форма (или форма с фиксированной точкой);

2. нормальная форма (или форма с плавающей точкой)

 

В форме представления с фиксированной точкой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной части.

 

ПРИМЕР: в десятичной системе счисления имеется 5 разрядов в целой части и 5 разрядов в дробной части. Числа, записанные в такую разрядную сетку, имеют вид:

 

00721,35500; 00000,000328; -10301,20260

 

При естественной форме представления запятая, разделяющая целую и дробную части числа располагается справа от разряда с номером i=0, это положение постоянно для всех чисел в вычислительной машине.

Рисунок 1. Разрядная сетка вычислительной машины с естественной формой представления чисел (запятая фиксирована перед старшим разрядом)

 

Эта форма проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому чаще всего не приемлема для вычислений. Диапазон значащих чисел N в системе счисления с основанием P при наличии т разрядов в целой части числа и s разрядов в дробной части числа (без учета знака) будет таким:

 

 

ПРИМЕР: Р=2, т= 10, s=6 числа изменяются в диапазоне 0,015<N<1024.

 

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимые пределы, произойдет переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. Для предотвращения переполнения при составлении программы вычислений числа необходимо масштабировать, т. е. подбирать коэффициенты (масштабные множители), на которые можно умножать числа, чтобы переполнения не возникало.

В современных компьютерах естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

 

В форме представления с плавающей точкой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа называется мантиссой, вторая – порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок должен быть целым числом. В общем виде число в формате с плавающей точкой может быть представлено:

,

где М – мантисса числа (); r – порядок числа (целое число); Р – основание системы счисления.

 

ПРИМЕР: 0,721355*10³; 0,328*10^-3; -0,103012026*10⁵

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных компьютерах. Так, диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р при наличии т разрядов у мантиссы и s разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов порядка и мантиссы):

 

ПРИМЕР: Р=2, т= 22, s=10 числа изменяются в диапазоне 10^-300<N<10³⁰⁰