Тема 2. Системы счисления

Информация в компьютере кодируется в двоичной или двоично-десятичной системе счисления.

Система счисления - способ выраже­ния и обозначения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа изображения чисел, системы счисления делятся на:

1. Позиционные;
2. Непозиционные.

В непозиционном счислении число выражается совокупностью различных цифр, значение которых определяется только конфигурацией их символов.

В ад­дитивном непозиционном счислении (например, римском) используются операции сложения — вычитания над соседними цифрами.

В мультипликативном счисле­нии с этой же целью используется операция умножения.

 

Общепринятым сейчас является позиционное счисление, в котором значение любой цифры определяется не только принятой конфигурацией ее символа, но и местоположением (позицией), которое она занимает в числе. Под основанием Р позиционного счисления понимают количество различных сим­волов, используемых для выражения числа. Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р -1.

В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд вида:

 

 

Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

1) положительные значения индексов – для целой части числа (т разрядов);

2) отрицательные значения – для дробной (s разрядов).

Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:

 

Минимальное значащее, не равное 0 число, которое можно записать в s разрядах дробной части:

 

Имея в целой части числа т разрядов, а в дробной – s разрядов, можно записать всего разных чисел.

 

Различают однородные и смешанные позиционные системы счисления.

Од­нородная — это система, в которой количество допустимых символов для всех разрядов одинаково (например, двоичная или десятичная системы).

Смешанная — это система, в которой количество допустимых цифр для разных разрядов различно. Примерами смешанной системы являются система, принятая в измерении времени (в разрядах секунд и минут по 60 различных сим­волов, в разряде часов — 24 и т. д.).

Современная десятичная позиционная система счисления возникла в Индии не позднее V века н. э. До этого времени в Индии применялись аддитивные и муль­типликативные системы. Вскоре после возникновения десятичная позиционная система была заимствована другими народами, в том числе арабами. Появление ее в Европе под именем арабской связано с переводами на латынь арабских рукописей. Замена алфавитной системы счисления на десятичную позиционную в России произошла в начале XVIII века.

В вычислительной технике наиболее широко применяется дво­ичная система счисление (п = 2).

Достоинством позиционных систем счисления является компактность записи чисел, существенным недостатком — наличие межразрядных переносов при вы­полнении арифметических операций. Поэтому еще и сейчас ведутся поиски опти­мальных для вычислительных машин систем счисления. Результатом этого явля­ется появление системы остаточных классов (СОК).

В СОК положительное целое число А представляется набором чисел – остатков (вычетов) в виде:

 

,

 

Где ;

р_i – основания (модули) СОК - взаимно простые числа.

 

Диапазон представления чисел в СОК определяется как .

Основное достоинство СОК — независимость образования разрядов числа, вследствие чего каждый разряд содержит в себе информацию обо всем числе А. Это определяет возможность независимой их обработки, т. е. поразрядного вы­полнения операций.

К недостаткам СОК, значительно затрудняющим ее практическое применение в вычислительной технике, относятся:

1) отсутствие достаточно простых признаков выхода числа за пределы диапазона [0, N];

2) получение всегда точного результата операции, вследствие чего исключаются возможности непосредственного округления результата и вообще приближенного выполнения операций;

3) невозможность прямого деления двух произвольных чисел;

4) невозможность визуального сопоставления чисел.