Рациональные дроби

Под целой рациональной функцией подразумевается многочлен п- й степени

f (x) = a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^{n – 1}+ a ₂ x ^{n – 2} +¼+ a_n,(1)

где а ₀ ¹ 0 и п ³ 0.

Дробно-рациональная функция или рациональная дробь – это частное двух целых рациональных функций . Будем рассматривать рациональные дроби с действительными коэффициентами.

Рациональная дробь называется несократимой, если её числитель взаимно прост со знаменателем.

Теорема. Всякая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, определяемой однозначно с точностью до множителя нулевой степени, общего для числителя и знаменателя.

Доказательство. Всякую рациональную дробь можно сократить на наибольший делитель её числителя и знаменателя, после чего будет получена равная ей несо­кратимая дробь. Если равны друг другу несократимые дроби и , то есть

, (2)

то из взаимной простоты f (x) и g (x) следует, что j(х) делится на f (x), а из взаимной простоты g (x) и y (х) следует, что f (x) делится на j(х). Отсюда f (x) = сj(х), а тогда из (2) следует g (x) = сy (х).

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Будем считать, что многочлен степени 0 является правильной дробью.

Теорема. Всякая рациональная дробь представима притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Пусть дана рациональная дробь f (x)/ g (x). Если, деля числитель на знаменатель, получим равенство

f (x) = q (x) g (x) + r (x),

где степень r (x) меньше степени g (x), то очевидно,

Если также справедливо равенство

,

где степень j(х) меньше степени y (х), то справедливо равенство

Так как слева стоит многочлен, а справа – правильная дробь, то обязательно q (x) = q ₁(x) и

Из изложенного ранее следует, что среди многочленов с действительными коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, неразложимыми на множители меньшей степени, или неприводимыми, являются лишь линейные многочлены вида х – а и квадратные многочлены вида

(конечно, здесь – комплексно сопряженные числа)

Правильная рациональная дробь f (x)/ g (x) называется простейшей, если её знаменатель g (x) является степенью неприводимого многочлена р (х),

g (x) = р^k (х), k ³ 1, а степень числителя f (x) меньше степени р (х).

Основная теорема о рациональных дробях. Всякая правильная рацио­нальная дробь разлагается в сумму простейших дробей.

Рассмотрим сначала правильную рациональную дробь , где многочлены g (x) и h (х) взаимно просты. Тогда существуют многочлены u ₁(х) и v ₁(x), такие что

g (x) u ₁(х) + h (х) v ₁(x) = 1

Отсюда

g (x)[ u ₁(х) f (x)] + h (х)[ v ₁(x) f (x)] = f (x) (3)

Пусть остаток от деления произведения u ₁(х) f (x) на h (х) равен u (х), степень которого меньше степени h (х). Тогда равенство (3) можно переписать в виде

g (x) u (х) + h (х) v (x) = f (x), (4)

где многочлен v (x) легко определяется. Так как степень произведения g (x) u (х) меньше степени произведения g (x) h (х), и степень f (x) меньше степени произведения g (x) h (х) по условию теоремы, то и произведение h (х) v (x)имеет степень, меньшую, чем g (x) h (х). Поэтому степень v (x) меньше степени g (x). Из (3) следует равенство

,

в правой части которого стоит сумма правильных дробей.

Если хотя бы одни из знаменателей g (x) или h (х) разлагается в произведение взаимно простых множителей, то можно провести дальнейшее разложение. Отсюда следует, что всякая правильная дробь разлагается в сумму нескольких правильных дробей, каждая из которых имеет знаменателем степень некоторого неприводимого многочлена. Если дана правильная дробь f (x)/ g (x), знаменатель которой разлагается на неприводимые множители

(конечно, всегда можно считать, что старший коэффициент знаменателя рациональной дроби равен единице), причём p_i (х) ¹ p_j (x) при i ¹ j, то

Все слагаемые в правой части этого равенства являются правильными дробями.

Рассмотрим правильную дробь вида u (х)/ р^k (x), где р (х) – неприводимый многочлен. Разделим u (х) на р^j (x), где j – наибольшее натуральное число из тех, при которых можно осуществлять деление u (х) на р^j (x) (j £ k – 1). Отметим, что при степени многочлена и (x) равной т, если р (x) = х – а, то j = т. Если же р (x) = х ² + рх + q (p ² – 4 q < 0), то при т чётном j = т/ 2, а при т нечётном j = (т - 1 )/ 2.

Полученный остаток разделим на р^{j- 1}(x) и т. д. В результате придём к равенствам

¼¼

При этом степень u (х) по условию меньше степени р^k (x), а степень каждого из остатков u_i (х) i = 1,2,¼, j + 1 меньше степени соответствующего делителя р^{j–i +1}(x), то степени всех частных s ₁(x), s ₂(x),…, s_{j+ 1}(x) будут строго меньше степени многочлена р (х).

.

Отсюда получается искомое представление рациональной дроби u (х)/ р^k (x) в виде суммы простейших дробей:

,

и основная теорема доказана.

Теорема единственности. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей.

Пусть некоторая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей двумя способами. Вычитая одно из этих представлений из другого и приводя подобные члены, получим сумму простейших дробей, тождественно равную нулю. Пусть знаменатели простейших дробей, составляющих эту сумму, будут некоторыми степенями различных неприводимых многочленов р ₁(х), р ₂(х),¼, р_s (х) и пусть наивысшая степень многочлена р_i (х), i = 1,2,¼, s, являющегося одним из этих знаменателей, будет . Умножим обе части рассматриваемого равенства на произведение . Все слагаемые полученной суммы, кроме одного, превратятся при этом в многочлены. Слагаемое превратится в дробь . Знаменатель этой дроби не является делителем числителя, так как многочлен р ₁(x) неприводим, а все множители числителя с ним взаимно просты. Выполняя деление числителя на знаменатель с остатком, в результате получим, что равна нулю сумма многочлена и отличной от нуля правильной дроби, что невозможно.