Приближенные измерения и вычисления

 

Во всех случаях, когда это возможно, измерения проводятся при помощи измерительных приборов. При этом следует учитывать, что все измерения и, следовательно, последующие вычисления в физике содержат погрешность. При измерении какой-либо величины прибором можно считать, что в первом приближении погрешность не превышает цену деления шкалы прибора. Округлив показание прибора (с недостатком или с избытком), получим результат в виде целого числа или десятичной дроби с определенным числом значащих цифр. Значащими цифрами числа являются цифры, начиная с первой ненулевой цифры слева, а также справа, если они не стоят взамен неизвестных или отброшенных.

Приведем несколько примеров.

В числе 385 имеется три значащих цифры. В числе 32,02 – четыре значащих цифры. В числе 0,016 – две значащих цифры. В числе 3·10² – одна значащая цифра. В числе 3,0·10² – две значащие цифры. В числе 3,00·10² – три значащие цифры. В числе 2,00 – три значащих цифры. Запись числа в двух последних случаях означает, что измерения сделаны с погрешностью, которая не превышает 0,005.

При изменении записи числа 3,·10² получили 300, здесь одна значащая цифра.

Чем больше значащих цифр, полученных при измерении, тем ближе полученный результат к истинному значению измеряемой величины, тем он точнее. Заметим, что самые точные измерения в физике делаются при определении физических констант (например, скорости света). При этом в лучших случаях измерений получены двенадцать значащих цифр. В обычных научных лабораторных исследованиях чаще всего довольствуются получением трех значащих цифр. В школьных лабораторных условиях чаще всего удается получить результаты с двумя значащими цифрами.

На основании происхождения числа можно выделить точные и приближенные числа. К точным, например, относятся коэффициенты, числа, полученные присчете, переводные множители. К приближенным – измеренные величины, большинство табличных значений тригонометрических функций, коней, некоторые результаты счета предметов (численность жителей города).

В записи числа можно выделить верные и сомнительные цифры. Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы последнего разряда, то все значащие цифры этого числа верные.

Пример 1. При измерении линейкой с ценой деления 1 мм длины стержня получили результат 56 мм. Абсолютная погрешность измерения составляет 0,5 мм. Значит длина стержня (56 ± 0,5) мм. Единица последнего разряда – 1 мм, абсолютная погрешность меньше 0,5 мм – обе цифры числа верные.

Пример 2. При измерении объема жидкости мензуркой получили результат (120 ± 5) мл. Первые две цифры числа верные – абсолютная погрешность не превышает единицы их разрядов. Про последнюю – 0 – говорят сомнительная цифра.

Понятно, что при различных действиях над числами с различным числом значащих цифр результат вычислений не может содержать больше значащих цифр, чем исходные числа с наименьшим числом значащих цифр. Поэтому при действиях над значащими цифрами пользуются следующими правилами.

1) Сложение и вычитание двух значащих цифр производится только в тех разрядах, которые присутствуют в обоих числах.

Примеры:

385 – 0,01 = 385;

32,02 – 0,01 = 32,01;

395 + 5·10² = 900;

3,00·10² – 3 = 297.

2) При умножении, делении и возведении в степень чисел сначала производятся действия над всеми числами, а потом результат округляется до наименьшего числа значащих цифр, которые содержатся в сомножителях.

Примеры:

5,1 · 7,3 = 37;

32,02 · 0,01 = 0,3;

395: 32,02 = 12,3.