Методом деления отрезка пополам

Метод деления отрезка пополам заключается в следующем. Проверяется наличие корня на отрезке [a, b] (рис.4.4).

Рис.4.4. Метод деления отрезка пополам.

Для этого вычисляются значения функций f(a) и f(b). Если f(a)*f(b)>0, то уравнение не имеет корней на заданном отрезке. Если f(a)*f(b)<0, т.е. на концах отрезка [a, b] функция f(x) имеет противоположные знаки, то искомый корень лежит на этом отрезке. Поиск корня происходит следующим образом. Находим в точке a значение функции y₁ = f(a). Затем определяем значение x как среднюю точку между а и b, вычисляем значения y₂ = f(x). Теперь, если f(a)*f(x)>0, то корень находится на отрезке [x, b], иначе – на отрезке [a, x]. В соответствии с этим, перемещаем точку а вправо или точку в влево, выполняя, соответственно присваивание а = х или b = x. Таким образом, получаем второй отрезок [a, b], но вдвое меньший предыдущего. Процесс деления отрезка пополам продолжаем до тех пор, пока отрезок [a, b] не станет меньше заданной точности. После этого вычисляем значение x = (a+b)/2.

 

Пример 4.4. Решение уравнения с заданной точностью e = 0.01 методом деления отрезка пополам, если корень находится на отрезке [1,3].

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <stdlib.h>

using namespace std;

 

int main()

{ int n = 0;

float x, a = 1, b = 3, y1, y2, eps = 0.001, e, r, l;

l = a; r = b;

y1 = a*a*a – 2*a*a – 3;

y2 = b*b*b – 2*b*b – 3;

if (y1*y2>0) { cout << "Корней нет" <<endl;

getch();

exit(1);

}

do { ++n;

x = (a+b)/2;

y1 = a*a*a – 2*a*a – 3;

y2 = x*x*x – 2*x*x – 3;

if (y1*y2>0) a = x;

else b = x;

} while ((b – a)>eps);

x = (a + b)/2;

cout << "Корень уравнения на отрезке "<< l << ", " << r << "равен " << x << " и получен за " << n <<"шагов";

cout << endl;

return 0; }

 

 

На оценку "3" нужно выполнить только свой вариант из 1 задания, на "4" и "5" – из 1 и 2 заданий.

Варианты заданий

Задание 1

Ввести с клавиатуры х и точность вычисления Eps. Вычислить с заданной точностью сумму

Номер варианта	Задание
1, 16
2, 17
3, 18
4, 19
5, 20
6, 21
7, 22
8, 23
9, 24
10, 25
11, 26
12, 27
13, 28
14, 29
15, 30