Вычисление значения с заданной точностью методом прямоугольников

Использованием циклов для решения задач численными методами.

Цель работы: Научиться применять циклические алгоритмы для решения задач, использующих численные методы.

Теоретические сведения

Вычисление значения с заданной точностью методом прямоугольников

Для вычисления первого приближения интеграла разделим отрезок [a,b], отвечающий пределам интегрирования (рис.4.1), на n равных частей (n = 4), определим значения x_i = a+h*i-h/2; h = (b-a)/n.

Вычислим площадь одного прямоугольника s_i=h*f(x_i). Сумма s_i площадей полученных прямоугольников является приближенным значением интеграла: .

Однако одно приближение не позволяет оценить точность, с которой вычислено значение интеграла, необходимо найти следующее приближение. Для этого увеличим n в два раза, т.е. n = 2n. Аналогично найдем .

Рис.4.1 Вычисление интеграла методом прямоугольников

Требуется вычислить значение интеграла с точностью e, поэтому проверим условие |S1 - S2|<e. Если условие выполняется, то S2 принимается за искомое значение интеграла; если не выполняется, то последнее выполненное значение S2 считается предыдущим, т.е. S1 = S2. После этого удвоим число точек деления отрезка и вычислим новое значение S2. Процесс удвоения n и вычисления S2 будем продолжать до тех пор, пока модуль разности S1 и S2 не станет меньше e.

Пример 4.1. Вычисление интеграла методом прямоугольников.

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <math.h>

using namespace std;

 

#define Pi 3.14159

 

int main()

{unsigned long i, n = 4;

float a,b,x,h,S1,S2,eps,exact;

a = 0; b = 3/(2*Pi); eps = 0.001;

S1 = 0;

h = (b – a)/n;

//Вычисляем сумму в первом приближении

for (i = 1; i<=n; i++)

{ x = a + i*h – h/2;

S1 = S1+ (1/(5–3*cos(x)))*h;

}

//Вычисляем текущее приближение и сравниваем его с предыдущим

do {n = 2*n;

h = (b – a)/n;

S2 = 0;

for (i = 1; i<=n; i++)

{x = a + i*h – h/2;

S2 = S2 + (1/(5–3*cos(x)))*h;

}

exact = fabs(S1 – S2);

S1 = S2;

} while(exact>eps);

cout << "S = " << S2;

return 0;

}