Теорема Карно

Относительно КПД тепловой машины существует принцип (теорема) Карно.

КПД тепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно, не зависит от природы рабочего вещества и устройства машины, а определяется только температурами нагревателя и холодильника. КПД необратимой тепловой машины, имеющей те же самые тепловые резервуары, меньше КПД обратимого цикла Карно.

Этот принцип может быть записан в виде соотношений

η = η(t ₁, t ₂), η' < η. (24.1)

Здесь η – КПД обратимого цикла Карно, η' – КПД необратимого цикла, t ₁ и t ₂ – температуры нагревателя и холодильника соответственно, измеренные каким-либо термометром.

Рис. 9

Для доказательства необходимо рассмотреть два цикла C и C ', действующих между двумя тепловыми резервуарами R ₁ и R ₂ (рис. 9). Первый из них – обратимый цикл Карно с идеальным газом в качестве рабочего тела. Второй цикл может быть как обратимым, так и необратимым. В этих циклах от резервуара R ₁ берутся количества теплоты Q ₁ и Q ₁' соответственно; резервуару R ₂ передаются равные количества теплоты ÷ Q ₂÷ и ÷ Q ₂'÷. В результате в цикле C совершается работа A = Q ₁ –÷ Q ₂÷, а в цикле C ' – работа A ' = Q ₁' – ÷ Q ₂'÷. Если теперь цикл C обратить, то в результате выполнения обоих циклов из резервуара R ₁ будет поглощаться теплота Q ₁' – Q ₁ и совершаться работа A ' – A = Q ₁' – Q ₁. При этом состояние резервуара R ₂ не изменится (сколько теплоты от него взято, столько же возвращено). Согласно второму началу термодинамики (в формулировке Томсона), должно быть A ' – A ≤ 0 (нельзя циклически получить положительную работу, полностью превращая в нее теплоту, забираемую от теплового резервуара, без изменений в других телах), или Q ₁' ≤ Q ₁ и, следовательно, η' ≤ η, что доказывает вторую часть принципа Карно. Знак равенства относится к случаю, когда цикл C ' также обратимый. В самом деле, обращением тогда цикла C ' аналогично доказывается, что η' ≥ η. Получается, что для обратимого цикла C ' должны одновременно выполняться соотношения η' ≤ η и η' ≥ η. Это означает, что справедлива и первая часть принципа Карно.