Формула ЕйлераФормула Ейлера має вигляд: , (1.5) де будь-яке дійсне число. Зміст цієї рівності в тому, що вона визначає експоненту (за основою ) з чисто уявним показником, точніше, права частина в (1.5) просто позначена через , але це виправдано тим, що введений таким чином символ буде володіти властивостями експоненти в дійсній області. За допомогою формул §§4.14,4.15,4.3 (приклад 3) безпосередньо перевіряються слідуючі властивості: ( ціле); . Приклад. Обчислити . Розв’язання.
4.20. Експонента ez Нехай . Покладемо . Ця рівність є означенням експоненти з будь-яким показником. Основні властивості: ( ціле); Для доведення використовуються властивості експоненти з дійсними і чисто уявними показниками (див.§1.17). Приклад 1. Знайти . Розв’язання. Якщо то Відповідь: Приклад 2. Обчислити . Розв’язання. Приклад 3. Показати, що якщо комплексне число, то Розв’язання. Нехай Очевидно, що Залишилось зауважити, що границя змінної величини дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли границя її модуля дорівнює нулю.
|