Комплексне число як точка площини
У вибраній прямокутній системі координат число зображається точкою (рис.1.1). Навпаки, якщо задана точка , то їй співставляється к.ч. . Таким чином, між множиною к.ч. і множиною точок площини (з заданою прямокутною системою координат) встановлюється взаємно однозначна відповідність. Рис.1.1. Очевидно, що дійсні числа зображуються точками на осі , а чисто уявні - на осі ; з цієї причини називають дійсною, а – уявною віссю; площину називають комплексною площиною, а к.ч. - точками цієї площини. Приклади. Знайти множину к.ч., що задовольняють умову: ; . Розв’язання. 1) Нехай . Умову перепишемо в рівносильній формі: Відповідь: множина чисел пряма 2) Якщо , то, , отже, Відповідь: множина чисел - півплощина, що розміщена нижче прямої . Побудувати на площині ХОУ к.ч., записати їх дійсну та уявну частину. Обчислити модулі к.ч. 1. . 2. . 3. Відповіді. 1. 2. . 3. .
4.10. Коло, круг, кільце Нехай дано числа Рівнянню задовольняють всі числа (і тільки вони), що розміщені на колі радіуса з центром у точці . Дійсно, якщо , то . Очевидно, що нерівності і задають відповідно круг і кільце. На рис. 1.2 зображено кільце з центром у точці . Звернемо увагу на вироджені випадки кільця : (1) – круг з виключеним центром ; (2) – зовнішність круга – круг з границею; (3) – вся площина з виключеною точкою ; (4) при маємо пусту множину.
Рис. 1.2
Приклад. З’ясувати, чи належить точка p до круга . Розв’язання. Порівняємо радіус з відстанню від центра круга до точки p: . Відповідь: точка p розміщена поза кругом.
|