Описание установки и метода измерений. Твердое тело, подвешенное на упругой нити, будет совершать крутильные колебания, если его повернуть на некоторый угол относительно вертикальной оси

 

Твердое тело, подвешенное на упругой нити, будет совершать крутильные колебания, если его повернуть на некоторый угол относительно вертикальной оси, совпадающей с нитью подвеса, и затем отпустить. Такие колебания происходят под действием упругих сил, возникающих при закручивании нити. Период гармонических крутильных колебаний зависит от упругости нити и момента инерции колеблющегося тела.

В данной работе метод крутильных колебаний осуществляется путем применения трифилярного подвеса.

Трифилярный подвес состоит из диска массой m, радиусом R (рис. 1), подвешенного на трех симметрично расположенных нитях длиной l. Наверху эти нити закреплены по краям диска меньшего радиуса r. При повороте диска на небольшой угол относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, все три нити принимают наклонное положение, и диск начинает совершать крутильные колебания.

В процессе колебания диска его центр массы перемещается по оси вращения (рис. 1). Обозначим через h = h ₁ – h ₂ высоту, на которую поднимается центр массы диска при наибольшем отклонении его от положения равновесия. При этом потенциальная энергия диска

 

.

 

При возвращении диска к положению равновесия его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения

 

.

Рис. 1

 

В момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия принимает максимальное значение

 

 

где J - момент инерции диска, w₀ - максимальная угловая скорость диска.

Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии можно записать

 

. (1)

 

При малых углах поворота диска (4 - 6⁰) колебания можно считать гармоническими. Тогда угловое смещение диска от положения равновесия будет изменяться с течением времени по закону

 

,

 

где - амплитуда углового смещения, T - период колебания диска.

Мгновенная угловая скорость вращения определяется как первая производная углового смещения j по времени t

 

.

 

В момент прохождения диском положения равновесия угловая скорость диска максимальна и равна

 

. (2)

 

Из формул (1) и (2) получим

 

(3)

 

Найдем величину h при повороте диска на угол . Будем считать, что . Тогда (см. рис. 1)

 

. (4)

 

Из рисунка следует, что

 

;

 

.

 

Подставив и в формулу (4),найдем

 

.

 

Вследствие малости угла j₀ синус его можно заменить самим углом. Тогда

 

.

 

Подставив значение h в формулу (3),получим

 

. (5)

 

Формула (5) является расчетной для вычисления момента инерции диска. Величину периода колебаний диска Т _д измеряют в ходе опыта, а остальные величины указаны на установке.

Если на диск положить тело произвольной формы так, чтобы центр массы его лежал на оси, вокруг которой совершаются колебания, то момент инерции всей системы J _c определится по формуле

 

, (6)

 

где m _т - масса положенного на диск тела; T _c -период колебаний системы.

С другой стороны, момент инерции этой системы равен сумме моментов инерции диска и тела:

 

J _с= J _д+ J _т.

 

Таким образом, если из опыта по формулам (5) и (6) вычислить моменты инерции диска и системы, то момент инерции тела

J _т = J _c - J _д. (7)