Краткая теория. Под влиянием внешних сил всякое твердое тело деформируется, т.е

 

Под влиянием внешних сил всякое твердое тело деформируется, т.е. изменяет свою форму и размеры. Упругой называется деформация, исчезающая с прекращением действия силы. Так, упруго растянутая пружина принимает свою прежнюю длину после прекращения действия растягивающей силы. С изменением знака силы меняется и знак упругой деформации. Например, если под влиянием растягивающей силы пружина удлиняется, то под влиянием сжимающей силы она укорачивается.

По закону, установленному английским физиком Р. Гуком, величина деформации х пропорциональна действующей силе F: х ~ F.

Под абсолютно твердым телом подразумевается такое тело, которое нисколько не деформируется под влиянием приложенных к нему сил. В природе нет неизменных, абсолютно твердых тел. Любое тело под действием сил испытывает большую или малую деформацию. Если при устранении внешних сил деформация исчезает, то тело называют упругим. Вообще под упругостью подразумевают присущее телам стремление восстанавливать измененную внешними силами форму. Одно и то же тело в зависимости от внешних условий (например, температуры или давления) может быть упругим или неупругим (пластичным). Так, с хорошей упругостью стальная пружина по мере повышения температуры становится всё более пластичной.

Если на упругое тело действуют какие-либо внешние силы, то, согласно третьему закону Ньютона, и со стороны упругого тела на внешние тела действуют такие же, но противоположно направленные силы. Эти силы называют упругими силами. Поэтому закон Гука можно выразить и таким образом: при малыхдеформациях сила упругости пропорциональна деформации. Например, рассмотрим растянутую пружину. Если её длину из недеформированного состояния увеличили на х, то согласно закону Гука сила упругости пружины

 

F _{упр., х} = - kх, (1)

 

где коэффициент k называется коэффициентом упругости или коэффициентом жесткости пружины. Положив в (1) х = 1, получим k = F _{упр., х}.

Это означает, что коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина увеличилась на единицу длины. Знак минус показывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную удлинению (смещению). Сила упругости пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена к положению равновесия.

Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные им по виду зависимости от смещения, называются квазиупругими силами. К таким силам относятся, например, сила связи в атомах между ядром и так называемыми оптическими электронами.

Груз на пружине, если отклонить его от положения равновесия и отпустить, будет совершать колебания около положения равновесия. Такая система носит название пружинного маятника. Колебания груза совершаются по закону синуса или косинуса и поэтому являются гармоническими. Уравнения колебаний, выражающие собой зависимость смещения груза от времени, имеют вид

 

х = A sin(w t + a) или х = A cos(w t + a′). (2)

 

В этих уравнениях А – амплитуда колебаний, т.е. величина наибольшего смещения груза от положения равновесия. Её значение зависит от величины первоначального отклонения или толчка, которым груз был выведен из положения равновесия. Постоянные величины a, a' представляют собой значения фазы в начальный момент времени t = 0 и называются начальной фазой колебания. Величина w есть круговая частота колебаний, она численно равна числу колебаний за 2π секунд. Продолжительность одного полного колебания называется периодом колебания Т. Период колебаний связан с круговой частотой соотношением

 

Т = 2p/w.

 

Для определения зависимости w от k запишем второй закон

Ньютона для груза на пружине

 

ma = F _{упр, х} = - kх (3)