Описание установки и метода измерения

 

Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических колебаний физического маятника

 

, (1)

 

где J - момент инерции маятника относительно оси качания (точки подвеса), m - масса маятника, a - расстояние от центра массы до оси качания (см. рис. 1). Однако формула (1) непосредственно для вычисления g не используется, так как момент инерции J и расстояние a обычно не могут быть измерены достаточно точно. Поэтому применяются такие методы, которые позволяют исключить данные величины из расчетной формулы для вычисления g.

В данной работе это достигается путем использования физического маятника в форме длинного стержня.

Маятник представляет собой однородный стержень (рис. 1) с опорной призмой П, которую можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любом его месте. Для определения положения призмы на стержне нанесена шкала с делениями через 1 см.

Период колебаний маятника, который выражается формулой (1), можно записать в виде

, (2)

 

где называется приведенной длиной физического маятника.

Момент инерции стержня относительно оси качания запишем по теореме Штейнера:

, (3)

 

где J ₀ момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр массы C (середину стержня) параллельно оси качания.

Для стержня

.

 

Для любого тела момент инерции J ₀ можно представить в виде

 

. (4)

 

Величина a ₀ называется радиусом инерции и имеет определенное значение для каждого тела. Для стержня

 

 

Используя формулы (3) и (4), получим выражение для приведенной длины

,

 

и периода колебаний

.

 

Таким образом, приведенная длина и, следовательно, период колебаний маятника являются функциями расстояния от центра массы до оси качания.

Из этих формул видно, что L и T стремятся к бесконечности при двух значениях a: при a ®0 и при a ®¥. Для определения значений при которых период является экстремальным, найдем производную d L /d a и приравняем ее к нулю:

 

,

 

откуда a = ± a ₀.Значит, T = T _min, если опорная призма закреплена на расстоянии a ₀» l/3 от середины стержня. Второе расстояние a = a ₀ означает, что если перевернуть стержень, то для точек подвеса, симметричных относительно середины, периоды колебаний будут одинаковы.

Из графика (риc. 2) видно, что при увеличении или уменьшении расстояния a по сравнению с a ₀ период колебания увеличивается. Поэтому одно и то же значение периода, большее чем T _min, маятник может иметь при двух положениях опорной призмы: при и . Для этих положений опорной призмы будут одинаковы и приведенные длины маятника, что следует, из формулы (2):

 

,

 

откуда . Тогда

(5)

 

Приведенная длина (рис. 2) L = MN + MK. Очевидно, что другому периоду колебаний будет соответствовать другая приведенная длина.

После подстановки (5) в (2) получим

 

,

 

откуда

. (6)

 

Формула (6) является расчетной для вычисления ускорения

свободного падения. Значения и T определяют по экспериментально построенному графику. Для этого опорную призму перемещают вдоль стержня и для каждого ее положения измеряют период колебаний. При проведении опыта и построении графика вместо расстояния a удобнее брать расстояние от конца стержня до призмы, которое на рис. 1 обозначено х.