Описание установки и метода измерений. Маятник Обербека (рис. 1) представляет собой маховик, которому придана крестообразная форма

 

Маятник Обербека (рис. 1) представляет собой маховик, которому придана крестообразная форма. На четырех стержнях насажены грузы одинаковой массы m ₀, которые могут быть закреплены на различных расстояниях R от оси вращения. На общей оси с маховиком насажены два шкива. На тот или иной шкив намотана нить, к свободному концу её, переброшенному через блок, прикреплен груз массой m. Под действием груза нить разматывается без скольжения и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение.

Рассмотрим силы, действующие на груз. На груз действуют две силы: сила тяжести P = mg и сила натяжения нити F _н. Спроецируем эти силы на ось X, которую направим вертикально вниз. Напишем второй закон Ньютона для поступательного движения груза

 

ma = mg – F _н. (1)

 

Так как масса нити пренебрежимо мала, то согласно третьему закону Ньютона, сила натяжения нити F _н^', действующая на маховик, равна силе натяжения (реакции) нити F _н, действующей на груз:

 

| F _н^'| = | F _н|. (2)

 

На маятник Обербека действуют момент силы натяжения M _н^' нити и момент силы трения M _тр в подшипниках.

Основной закон динамики вращательного движения относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, выразится уравнением

 

M _н^' – M _тр = J β, (3)

 

где J – момент инерции маятника Обербека, β – его угловое ускорение.

Так как в нашем опыте M _тр<< M _н^', то уравнение (3) можно заменить уравнением

M _н = J β. (4)

 

Момент силы натяжения равен произведению силы натяжения F _н^' на плечо силы, являющееся радиусом шкива r:

 

M _н^' = F _н^'· r = F _н^'· D /2, (5)

 

где D – диаметр шкива.

Из уравнения (1)

F _н = m (g – a). (6)

 

С учетом (2) и (6) формула (5) примет вид

 

(7)

 

Груз движется вниз равноускоренно, поэтому пройденный путь h определяется уравнением кинематики

 

, (8)

 

из которого выражаем линейное ускорение

 

(9)

 

Расчет ускорения по формуле (9) показывает, что в условиях нашего опыта a << g, поэтому уравнение (7) упрощаем до вида

 

(10)

Угловое ускорение β связано с линейным (тангенциальным) ускорением точек боковой поверхности шкива, равным ускорению груза m, соотношением

 

Тогда, учитывая (9), получим

 

(11)

 

Из уравнения (4) следует, что при J = const в случае действия на маховик двух различных моментов сил M ₁ и M ₂ отношение этих моментов прямо пропорционально отношению угловых ускорений

 

(12)

 

Согласно уравнениям (10) и (11) при D = const и h = const

 

(13)

(14)

 

Для проверки равенства (12) необходимо по результатам опыта определить отношение моментов сил по формуле (13) и отношение угловых ускорений по формуле (14) и сравнить эти отношения.

Для определения отношений (13) и (14) нужно изменять вращающий момент, подвешивая к нити грузы разной массы m ₁ и m ₂, не изменяя положения грузов m ₀ на стержнях.

Согласно (4), угловое ускорение β обратно пропорционально J при M = const.

Если построить график зависимости 1/β = f (J) при M = const, то его линейность должна подтвердить обратно пропорциональную зависимость β от J. Величину, обратную β, найдем из (11):

 

(15)

Момент инерции маятника Обербека может быть определен как сумма моментов инерции крестовины со шкивом и грузов m ₀. Если размеры грузов малы по сравнению с расстоянием R от центра груза до оси вращения, то их моменты инерции можно определить как моменты инерции материальных точек. Таким образом,

J = J ₀ + km ₀ R ², (16)

 

где J ₀ – момент инерции крестовины со шкивом, m ₀ – масса груза, k – количество грузов.

Из формулы (16) следует, что момент инерции маятника Обербека можно изменить, меняя количество грузов на крестовине и их расстояние до оси вращения.