КОНСЕРВАТИВНЫЙ АВТНОМНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР

 

Существует несколько реализаций осциллятора. В лабораторной работе колебания консервативного автономного осциллятора изучаются на примере колебаний груза, подвешенного на упругой пружине, когда трение настолько мало, что им можно пренебречь.

Основной закон механики приводит к уравнению:

(1)

где - масса груза, - коэффициент пропорциональности отклонения груза от положения равновесия.

Уравнение (1) запишем в виде:

, (1^/)

где . Такой осциллятор называется консервативным, поскольку его энергия сохраняется во времени. Это легко доказать даже для более общего случая – нелинейного осциллятора .

Полная энергия:

(2)

Продифференцируем (2) по времени: . Следовательно, не зависит от времени. Общее решение уравнения (1) можно записать в виде: .

Движение груза происходит по гармоническому закону (с постоянной амплитудой). Пренебрежение трением приводит к выводу о незатухающем характере колебаний.

Амплитуда и сдвиг фазы определяются начальными условиями : .

Начальное смещение и начальная скорость определяют тот начальный запас потенциальной и кинетической энергии, который сообщен грузу. Так как потери энергии отсутствуют, то этот начальный запас энергии остается неизменным при колебаниях. Процесс колебания сопровождается переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Когда грузик движется, его положение и скорость меняются. Изображающая состояние системы точка перемещается по фазовой плоскости по траектории, параметрическое уравнение которой имеет вид:

. (3)

Исключая , получаем уравнение эллипсов:

(4)

Движение по одному из эллипсов соответствует колебаниям с одинаковой амплитудой, но с разным сдвигом фаз.

На рис.1а, изображен фазовый портрет, на рисунке 1б – график зависимости .

а) б)

Рис.1

Период полного колебания равен . Значит, чем тяжелее груз, тем медленнее пружина будет колебаться вверх-вниз.

Период колебаний, так же как и частота, не зависит от начальных условий. Это свойство колебаний называется изохронностью.

Если же взять пружину пожестче, то движение должно происходить быстрее: период уменьшается с увеличением жесткости пружины.