Евклидово пространство.

В линейном векторном пространстве отсутствует способ измерения скалярных величин. Евклидово пространство — это расширение векторного пространства, в которое введена мера для измерения расстояния (размера).

Хотя аффинное пространство и содержит все элементы, необходимые для построения геометрических моделей, в нем отсутствует понятие расстояния между двумя точками, а соответственно и понятие длины вектора. Аффинное пространство, дополненное понятием расстояния (через меру длины), превращается в евклидово.

Евклидово пространство Е содержит скаляры (α,β,γ,...) и векторы (u,v,w,...) причем скаляры представляют собой действительные числа. В евклидовом пространстве вводится новая операция — скалярное произведение, операндами которой являются векторы, а результатом — скаляр.

Векторное, аффинное и евклидово пространства – это разные линейные пространства со своими аксиоматическими представлениями (определениями).

Во всех этих абстрактных пространствах объекты могут быть определены независимо от конкретного представления — они просто являются элементами некоторых множеств. Одна из основных концепций векторного пространства состоит в представлении любого вектора в терминах одного или нескольких множеств базисных векторов. Такое представление обеспечивает связь между абстрактными объектами и их реализацией, а взаимные преобразования одних представлений в другие приводят к геометрическим преобразованиям.