Решение уравнений и систем уравнений

Уравнение вида ax=b, где x- переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Пример, 4(x+7)= 3 - x

4x + 28= 3 – x

4x+x= 3 -28

5x = -25

x = -25:5

x= -5

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где x и y – переменные, a, b и c - некоторые числа.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Пример,

выразим из второго уравнения y=3x+9, получим

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Находим дискриминант D = b² − 4ac.

· Если D < 0, корней нет;

· Если D = 0, есть ровно один корень;

· Если D > 0, корней будет два.

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Пример:

Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;

2. 15 − 2x − x² = 0;

3. x² + 12x + 36 = 0.

Решение:

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их:

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Ответ: 1) x₁ = 3; x₂ = -1; 2) x₁ = −5; x₂ = 3; 3) x = −6.

 

Решим дробное рациональное уравнение

x – 3 1 x + 5
—— + — = ———.
x – 5 x x(x – 5)

Решение: Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак:

x² – 3х x – 5 x + 5
——— + ——— = ———
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

x² – 3x + x – 5 = x + 5

x² – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x² – 3x – 10 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5. Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения. При x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения. При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: x = –2