Электромагнитные волны в двухпроводной линии конечной длины.

 

Описанные распространяющиеся электромагнитные волны возни

 

 

кают в очень длинных линиях, которые можно практически рассматривать

как неограниченные (бесконечные). На практике обычно имеют дело с линиями, на протяжении которых укладывается сравнительно небольшое число длин волн. В этих случаях существенную роль играет отражение электромагнитных волн на концах лиши. Отраженные волны, складываясь с издающей волной, создают более сложные формы электромагнитных колебаний — стоячие электромагнитные волны, подобные стоячим механическим волнам в упругом шнуре или струне.

В бегущей волне, как уже упоминалось, колебания электрического и магнитного полей происходят в одинаковых фа­зах (см. уравнение (2)). При отражении электромагнитной волны в конце линии происходит изменение фазы колебаний. Так как в бегущей волне.направления векторов v, E и Н свя­заны правилом правого винта, то в первичной волне, движу­щейся от генератора в положительном (Направлении оси X, расположение векторов v, Е, Н будет вблизи конца линии таким, как «а рис. 3, а. Чтобы направление распространения волны изменилось на противоположное, необходимо, чтобы один из векторов Е или Н изменил свое направление на про­тивоположное (рис. 3,6 и 3,0). Но изменение направления поля означает изменение фазы колебаний на p. Поэтому при отражении, если меняется фаза электрического поля, фаза магнитного поля сохраняется и, наоборот, при изменении фазы магнитного поля фаза электрического поля остается неизменной. Это изменение фазы одной из составляющих электромагнитного поля следует из строгого рассмотрения отражений на основе уравнений Максвелла.

При рассмотрении отражения электромагнитных волн от нагрузки линии вводят коэффициенты отражения по напря­жению р_£ и току р_я [3]:

 

(5)

 

 

где — волновое сопротивление линии; — сопротивление нагрузки, включенной на конце линии; в общем случае мо­жет быть комплексным.

 

Рассмотрим режимы работы линии при некоторых сопро­тивлениях нагрузки.

1. Линия на конце разомкнута. Z,, = ¥;.

Коэффи­циенты отражения = — 1; = 1.

Переменные токи, возникающие в линии, на конце ее бу­дут вызывать наибольшие колебания зарядов. Так как про­водимость между проводами идеальной линии отсутствует, то амплитуда тока проводимости на конце' линии равн а ну­лю, следовательно равно нулю магнитное поле, а электриче­ское поле максимальное.

Для отыскания распределения электромагнитного поля в двухпроводной линии при наличии отражений на разомкну­том конце запишем уравнения падающей и отраженной волн:

 

 

 

Результирующее электрическое поле

 

 

(7)

 

 

Результирующее магнитное поле

 

(8)

Формулы (7) и (8) показывают, что в линии будут про­исходить гармонические колебания с частотой . Амплитуда колебаний электрического поля Е = 2E ₀coskx и магнитного поля Н — 2 Hosinkx - оказываются зависимыми от координаты, которая здесь отсчитывается от конца линии, и поэтому раз­личны в разных точках линии. В определенных точках Е (или Н) достигает максимума. Эти точки называются пучностями электрического (или магнитного) поля. В точках, на­зываемых узлами электрического (или магнитного) поля, ам­плитуда Е (соответственно, Н) обращается в нуль

8.

Координаты пучностей электрического поля находим из условия: (где п =0, 1, 2....). Отсюда координа­ты пучностей Е

 

(9)

 

Из выражения (9) видно, что две соседние пучности элек­трического поля отстоят друг от друга на расстояние, рав­ное λ/2.

Координаты узлов электрического поля находим из усло­вия:

kx_y£ = (2л + 1) , где п = О, 1, 2,...

Отсюда координаты узлов Е

х_уе = (10)

Расстояние между двумя соседними узлами электри­ческого поля также составляет λ /2

 

 

 

.

Из сравнения формул (9) и (10) видно, что между двумя соседними пучностями располагается один узел; между дву­мя соседними узлами располагается одна пучность.

Из формулы (8) найдем координаты узлов и пучностей магнитного доля. Координаты узлов H находим из условия

, где л = О, 1, 2,... Отсюда координаты узлов H

 

(11)

Ъ

 

 

 

 

Из условия

•находим координаты пучностей Н:

 

(12)

 

Из формул (11) и (12) видно, что для магнитного поля, так же, как и для электрического, расстояние между двумя соседними узлами и пучностями составляет . Между двумя соседними пучностями располагается один узел; меж­ду двумя соседними узлами располагается пучность. Отличие в распределении электрического и магнитного полей в стоячей электромагнитной волне состоит в том, что узлу электрическо­го поля соответствует пучность магнитного поля и наоборот

.

2. Линия на конце короткозамкнута Z_H = 0.

Ко­эффициенты отражения

В этом случае напряжение на конце линии будет всегда равно нулю, т. е. электрическое поле там будет отсутство­вать. В замыкателе будет наибольшая амплитуда тока, и на конце линии — наибольшее магнитное поле.

Для отыскания распределения поля в короткозамкнутой линии аналогично предыдущему случаю, запишем уравнения падающей и отраженной волн:

 

 

Епад = Е₀ sin(ωt-kx) E отр = Е:_пад ρ_Е = -Е₀ sin(ωt+kx)

Н_пад = Н₀ Sin(ωt-kx) Hотр = Нпад ρ_н sin(ωt+kx)

 

Результирующее электрическое поле

 

 

(13)

 

Результирующее магнитное поле

 

(14)

 

Из условия

 

, где

находим координаты узлов электрического поля

Из условия

; n = 0, 1,2,...

 

находим координаты пучностей электрического поля:

 

(16)

 

 

Из условия

= 0, 1, 2,... (17)

Из условия

 

kx_nH='nrc, я = О, 1, 2,...

 

 

находим координаты пучностей магнитного поля:

 

х_а„=пЦ2. (18)

Полученные по уравнениям результаты можно представить з виде табл. 1.

 

 

Таблица 1

 

Расстояние от конца линии	Линия на конце разомкнута ZH = ∞	Линия на конце короткозамкнута Zn = 0
Е	Н	Е	Н
	Пучность	Узел	Узел	Пучность
	Узел	Пучность	Пучность	Узел
	Пучность	Узел	Узел	Пучность
	Узел	Пучность	Пучность	Узел
	Пучность	Узел	Узел	Пучность
	Узел	Пучность	Пучность	Узел

 

 

 

3. Линия замкнута на волновое сопротивление Z_H = . В этом случае, как видно из формул (5) и (6), коэффициенты отражения . Распространяющаяся от генератора волна будет полно­стью поглощаться в нагрузке, и отраженной волны не будет. В короткой

линии, нагруженной на волновое сопротивле­ние установится такой же режим, как и в бесконечной ли­нии, т. е. через любое сечение двухпроводной линии будет проходить только волна, идущая от генератора. Такой ре­жим двухпроводной линии называется режимом бегущей волны.