Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

БІОЛОГІЧНІ МОДЕЛІ




Будь-яку кінетичну біологічну систему можна охарактеризувати як сукупність деяких параметрів, значення яких підтримуються незмінними протягом часу спостереження за системою, та змінних у часі. Параметрами є, наприклад, такі фізичні величини, як температура, вологість, електрична провідність мембрани, рН і т. д. Залежно від досліджуваних біосистем змінними вважаються: в екології – чисельність виду, у біофізиці – мембранний потенціал, у мікробіології – кількість мікроорганізмів, у біохімії – концентрація речовини тощо.

Припустимо, що в біосистемі є різних компонент (напр., хімічних сполук), які з часом зазнають метаболічних перетворень. Це означає, що значення концентрації кожної -ї сполуки ( ) змінюється з часом унаслідок її взаємодії з будь-якою іншою ( ) компонентою. Такого припущення достатньо для побудови загальної математичної моделі, яка є системою диференціальних рівнянь першого порядку.

(2.1.1)

 

 

У системі (2.1.1), де –швидкості зміни невідомих концентрацій (змінних), – деякі функції, які можуть залежати як від внутрішніх (напр., рН), так і від зовнішніх (напр., температура) параметрів біосистеми.

Знайти загальний розв'язок моделі (2.1.1) в аналітичному вигляді, як правило, вдається лише тоді, коли вона є лінійною. Однак процеси, які відбуваються в біологічних системах, як правило, є нелінійними; відповідно нелінійними є й математичні моделі цих процесів. Проте існують методи якісного аналізу диференціальних рівнянь, які дають можливість виявити важливі загальні властивості (закономірності) моделі (2.1.1), не знаходячи в явному вигляді невідомі функції .

Ці методи базуються на таких експериментальних фактах. По-перше, різні функціональні процеси в біосистемах суттєво відрізняються один від одного за часом проходження або характерними швидкостями. Так, наприклад, у біосистемі одночасно мають місце швидкі процеси ферментативного каталізу (час обороту ферменту становить с), фізіологічні процеси (час – хвилини) та процеси репродукції (від кількох хвилин і більше). По-друге, якщо окремі (проміжні) стадії загального процесу в біосистемі характеризуються часом і найповільніша стадія має час такий, що , то визначальною ланкою всього процесу є -та стадія, і загальний час проходження процесу практично збігається з . Отже, наявність такої часової ієрархії процесів у біосистемі дає можливість значно спростити вихідну модель, звівши її, по суті, до кінетичного опису поведінки найбільш повільної стадії.

Як видно з рівнянь (2.1.1), зміна стану системи описується деякою точкою у -мірному просторі значень змінних . Простір з координатами називається фазовим. Крива, яку описує в цьому просторі точка , називається фазовою траєкторією.

Однією з важливих властивостей відкритих систем (на відміну від ізольованих) є наявність у них стаціонарних станів. За означенням, у стаціонарному стані

. (2.1.2)

У результаті отримуємо систему алгебраїчних рівнянь для визначення стаціонарної (особливої) точки фазового простору :

(2.1.3)

 

Динамічні біосистеми, які описуються за допомогою звичайних диференціальних рівнянь типу (2.1.1), називаються точковими системами. Це означає, що в будь-якій точці такої системи значення шуканої величини (напр., концентрації речовини) зберігається з часом. Однак загальнішим є випадок, коли значення змінних є різними в різних точках простору. Наприклад, коли одночасно з реакцією, яка відбувається на деякій ділянці системи, реагенти дифундують, переходячи до іншої ділянки. Кінетичні рівняння, які враховують дифузійний зв’язок між окремими ділянками простору в біосистемі, мають вигляд

(2.1.4)

де – коефіцієнт дифузії речовини , – просторова координата.

Система рівнянь (2.1.4) дає можливість пояснити деякі загальні принципи процесів самоорганізації в живих організмах.

 







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 305. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия